vaiheittainen tehtävä

Tehtävä. Olkoon

$p(x)=x^2+3x+4$ ja

$x_0=2$ . Todista raja-arvon määritelmän avulla, että

$\lim_{x\to x_0}p(x)=a$ jollakin

$a\in\mathbb{R}$ .

Usein laskutehtävät ja todistukset ovat monivaiheisia: täytyy osata tehdä jotain, ennen kuin pääsee ratkaisussa eteenpäin. Tämä sivu

antaa palautetta ratkaisun eri vaiheissa (ja siten kannustaa/pyytää laskemaan virheellisen kohdan uudestaan);
antaa mahdollisuuden ohittaa kohdat, joihin muuten jäisi jumiin;
jakaa pitkän tehtävän palasiin, jolloin vireystila pysyy yllä.

Sivulla on tietty rakenne, jossa on erilaisia nappuloita:

Tekstiosa. Kuvailee mitä ollaan tekemässä.

kysymys

Sisältää kysymyksen.

Näyttää vastauksen sekä "Etene" ja "Miksi?" -nappulat.

Näyttää seuraavan vaiheen kuvauksen ja kysymyksen.

Näyttää annetun vastauksen perustelun.

Todistus. Olkoon $\varepsilon>0$ mielivaltainen.

Aluksi täytyy löytää ehdokas raja-arvoksi, eli luku $a$ .

Mikä on sopiva luku

$a$ ?

$a=14$ .

$p(2)=2^2+3\cdot 2+4=4+6+4=14.$

Jollakin polynomilla $q(x)$ pätee $p(x)-14=(x-2)q(x).$

Mitä on

$p(x)-14$ ?

$p(x)-14=x^2+3x-10.$

$p(x)-14=x^2+3x+4-14=x^2+3x-10.$

Siis jollakin polynomilla $q(x)$ pätee $p(x)-14=x^2+3x-10=(x-2)q(x).$ Tulee jakaa jakokulmassa $q(x)=\frac{x^2+3x-10}{x-2}.$

Mitä on

$q(x)$ ?

$q(x)=x+5.$

Polynomien jakokulmassa voidaan laskea, että

$q(x)=x+5.$ Tulos voidaan tarkistaa laskemalla:

$(x-2)q(x)=(x-2)(x+5)=x^2+5x+(-2)x+(-2)\cdot5=x^2+3x-10=p(x)-14,$ niin kuin pitääkin.

Siis $|p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|.$ Halutaan $|p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt M|x-2|$ jollakin reaaliluvulla $M$ eli täytyy saada aikaan arvio $|x+5|\lt M.$ Tätä varten täytyy tehdä jokin lisärajoitus.

Valitaan lisärajoitus $|x-2|\lt 1=:\delta_1$ . Olkoon $|x-2|\lt 1$ .

Mikä luku

$M$ voi olla?

$M=8.$

Oletetaan, että

$|x-2|\lt 1$ . Tällöin

$-1\lt x-2\lt 1,$ joten

$1\lt x\lt 3.$ Siis

$|x+5|\leq |x|+5\lt 3+5=8=:M.$

Vaihtoehtoisesti voidaan päätellä $|x+5|=|x-2+7|\leq |x-2|+7\lt 1+7=8=:M.$

Siis $|p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt 8|x-2|.$ Nyt halutaan $|p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt 8|x-2|\lt\varepsilon.$ Tämä toteutuu, kun $|x-2|\lt\delta_2$ pätee eräällä luvulla $\delta_2>0$ .

Mikä luku

$\delta_2>0$ on?

Nyt

$\delta_2=\frac{\varepsilon}{8}$ .

Epäyhtälö

$8|x-2|\lt\varepsilon$ on ekvivalentti epäyhtälön

$|x-2|\lt\frac{\varepsilon}{8}=:\delta_2$ kanssa.

Siis $|p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt 8|x-2|\lt\varepsilon,$ kun $|x-2|\lt 1=\delta_1$ ja $|x-2|\lt\delta_2$ .

Halutaan $|p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt 8|x-2|\lt\varepsilon,$ kun $|x-2|\lt\delta$ .

Kuinka

$\delta>0$ tulisi valita?

$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}=\min\bigg\{1,\frac{\varepsilon}{8}\bigg\}.$

Valitaan

$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}=\min\bigg\{1,\frac{\varepsilon}{8}\bigg\}.$ Nyt

$|x-2|\lt\delta\Rightarrow\quad |x-2|\lt\delta_1\Rightarrow\quad |x+5|\lt 8=M$ ja

$|x-2|\lt\delta\Rightarrow\quad |x-2|\lt\delta_2\Rightarrow\quad 8|x-2|\lt\varepsilon.$

Siis $|p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt 8|x-2|\lt\varepsilon,$ kun $|x-2|\lt\delta$ . Tässä $\varepsilon>0$ oli mielivaltainen. Raja-arvon määritelmän nojalla $\lim_{x\to 2}p(x)=14.$ Todistus on valmis. $\square$

Vaiheittainen epsilon-delta-todistus