Tehtävä. Olkoon \(p(x)=x^2+3x+4\) ja \(x_0=2\). Todista raja-arvon määritelmän avulla, että $$ \lim_{x\to x_0}p(x)=a $$ jollakin \(a\in\mathbb{R}\).
Näyttää vastauksen sekä "Etene" ja "Miksi?" -nappulat.
Näyttää seuraavan vaiheen kuvauksen ja kysymyksen.
Näyttää annetun vastauksen perustelun.
Todistus. Olkoon \(\varepsilon>0\) mielivaltainen.
Aluksi täytyy löytää ehdokas raja-arvoksi, eli luku \(a\).
Jollakin polynomilla \(q(x)\) pätee $$ p(x)-14=(x-2)q(x). $$
Siis jollakin polynomilla \(q(x)\) pätee $$ p(x)-14=x^2+3x-10=(x-2)q(x). $$ Tulee jakaa jakokulmassa $$ q(x)=\frac{x^2+3x-10}{x-2}. $$
Siis $$ |p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|. $$ Halutaan $$ |p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt M|x-2| $$ jollakin reaaliluvulla \(M\) eli täytyy saada aikaan arvio $$ |x+5|\lt M. $$ Tätä varten täytyy tehdä jokin lisärajoitus.
Valitaan lisärajoitus \(|x-2|\lt 1=:\delta_1\). Olkoon \(|x-2|\lt 1\).
Vaihtoehtoisesti voidaan päätellä $$ |x+5|=|x-2+7|\leq |x-2|+7\lt 1+7=8=:M. $$
Siis $$ |p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt 8|x-2|. $$ Nyt halutaan $$ |p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt 8|x-2|\lt\varepsilon. $$ Tämä toteutuu, kun $$ |x-2|\lt\delta_2 $$ pätee eräällä luvulla \(\delta_2>0\).
Siis $$ |p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt 8|x-2|\lt\varepsilon, $$ kun \(|x-2|\lt 1=\delta_1\) ja \(|x-2|\lt\delta_2\).
Halutaan $$ |p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt 8|x-2|\lt\varepsilon, $$ kun \(|x-2|\lt\delta\).
Siis $$ |p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt 8|x-2|\lt\varepsilon, $$ kun \(|x-2|\lt\delta\). Tässä \(\varepsilon>0\) oli mielivaltainen. Raja-arvon määritelmän nojalla $$ \lim_{x\to 2}p(x)=14. $$ Todistus on valmis. \(\square\)