Vaiheittainen epsilon-delta-todistus

Tehtävä. Olkoon \(p(x)=x^2+3x+4\) ja \(x_0=2\). Todista raja-arvon määritelmän avulla, että $$ \lim_{x\to x_0}p(x)=a $$ jollakin \(a\in\mathbb{R}\).

Usein laskutehtävät ja todistukset ovat monivaiheisia: täytyy osata tehdä jotain, ennen kuin pääsee ratkaisussa eteenpäin. Tämä sivu Sivulla on tietty rakenne, jossa on erilaisia nappuloita:

kysymys
Sisältää kysymyksen.

Näyttää vastauksen sekä "Etene" ja "Miksi?" -nappulat.

Näyttää seuraavan vaiheen kuvauksen ja kysymyksen.

Näyttää annetun vastauksen perustelun.

Todistus. Olkoon \(\varepsilon>0\) mielivaltainen.

Aluksi täytyy löytää ehdokas raja-arvoksi, eli luku \(a\).

Mikä on sopiva luku \(a\)?


\(a=14\).

$$ p(2)=2^2+3\cdot 2+4=4+6+4=14. $$

Jollakin polynomilla \(q(x)\) pätee $$ p(x)-14=(x-2)q(x). $$

Mitä on \(p(x)-14\)?


$$ p(x)-14=x^2+3x-10. $$

$$ p(x)-14=x^2+3x+4-14=x^2+3x-10. $$

Siis jollakin polynomilla \(q(x)\) pätee $$ p(x)-14=x^2+3x-10=(x-2)q(x). $$ Tulee jakaa jakokulmassa $$ q(x)=\frac{x^2+3x-10}{x-2}. $$

Mitä on \(q(x)\)?


$$ q(x)=x+5. $$

Polynomien jakokulmassa voidaan laskea, että $$ q(x)=x+5. $$ Tulos voidaan tarkistaa laskemalla: $$ (x-2)q(x)=(x-2)(x+5)=x^2+5x+(-2)x+(-2)\cdot5=x^2+3x-10=p(x)-14, $$ niin kuin pitääkin.

Siis $$ |p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|. $$ Halutaan $$ |p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt M|x-2| $$ jollakin reaaliluvulla \(M\) eli täytyy saada aikaan arvio $$ |x+5|\lt M. $$ Tätä varten täytyy tehdä jokin lisärajoitus.

Valitaan lisärajoitus \(|x-2|\lt 1=:\delta_1\). Olkoon \(|x-2|\lt 1\).

Mikä luku \(M\) voi olla?


$$ M=8. $$

Oletetaan, että \(|x-2|\lt 1\). Tällöin $$ -1\lt x-2\lt 1, $$ joten $$ 1\lt x\lt 3. $$ Siis $$ |x+5|\leq |x|+5\lt 3+5=8=:M. $$

Vaihtoehtoisesti voidaan päätellä $$ |x+5|=|x-2+7|\leq |x-2|+7\lt 1+7=8=:M. $$

Siis $$ |p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt 8|x-2|. $$ Nyt halutaan $$ |p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt 8|x-2|\lt\varepsilon. $$ Tämä toteutuu, kun $$ |x-2|\lt\delta_2 $$ pätee eräällä luvulla \(\delta_2>0\).

Mikä luku \(\delta_2>0\) on?


Nyt \(\delta_2=\frac{\varepsilon}{8}\).

Epäyhtälö $$ 8|x-2|\lt\varepsilon $$ on ekvivalentti epäyhtälön $$ |x-2|\lt\frac{\varepsilon}{8}=:\delta_2 $$ kanssa.

Siis $$ |p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt 8|x-2|\lt\varepsilon, $$ kun \(|x-2|\lt 1=\delta_1\) ja \(|x-2|\lt\delta_2\).

Halutaan $$ |p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt 8|x-2|\lt\varepsilon, $$ kun \(|x-2|\lt\delta\).

Kuinka \(\delta>0\) tulisi valita?


$$ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}=\min\bigg\{1,\frac{\varepsilon}{8}\bigg\}. $$

Valitaan $$ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}=\min\bigg\{1,\frac{\varepsilon}{8}\bigg\}. $$ Nyt $$ |x-2|\lt\delta\Rightarrow\quad |x-2|\lt\delta_1\Rightarrow\quad |x+5|\lt 8=M $$ ja $$ |x-2|\lt\delta\Rightarrow\quad |x-2|\lt\delta_2\Rightarrow\quad 8|x-2|\lt\varepsilon. $$

Siis $$ |p(x)-14|=|x^2+3x-10|=|x-2||x+5|\lt 8|x-2|\lt\varepsilon, $$ kun \(|x-2|\lt\delta\). Tässä \(\varepsilon>0\) oli mielivaltainen. Raja-arvon määritelmän nojalla $$ \lim_{x\to 2}p(x)=14. $$ Todistus on valmis. \(\square\)