Antiderivaatta 4 Esimerkkifunktiolle löydetään useampia integraalifunktioita, jotka vaikuttavat hyvin erilaisilta. Paljastuu, että nämä eroavat toisistaan pelkästään summattavalla vakiolla.
Antiderivaatta 5 Tutustutaan integraalifunktion merkintätapaan. Merkintätapa helpottaa integraalifunktion etsimistä, sillä derivoinnin lineaarisuuden avulla etsiminen voidaan tehdä pala palalta.
Arkussinin ja arkuskosinin derivaatta Etsitään arkussinin ja arkuskosinin derivaattojen lausekkeet. Tätä varten täytyy käyttää hyväksi trigonometrian kaavoja. Sovelluksena saadaan funktion 1/(1-x^2)^(1/2) integroimiskaava.
Arkustangentin derivaatta Etsitään arkustangentin derivaatan lauseke. Tätä varten täytyy käyttää hyväksi trigonometrian kaavoja. Sovelluksena saadaan funktion 1/(1+x^2) integroimiskaava.
Neliöiden summan kaava Todistetaan neliöiden summan kaava. Kaavaa tarvitaan esimerkiksi, kun lasketaan käyrän x^2 ja x-akselin välissä oleva pinta-ala Riemannin summilla.
Geometrisen summan kaava Todistetaan geometrisen summan kaava. Kaavaa tarvitaan esimerkiksi, kun lasketaan käyrän e^x ja x-akselin välissä oleva pinta-ala Riemannin summilla.
Baselin ongelma Treenataan indekseihin perustuvia merkintätapoja johtamalla luonnollisten lukujen käänteislukujen summa. Johdossa tarvitaan sinin sarjakehitelmää ja tuloesitystä äärettömänä tulona. Johdetaan summan kaava oivaltavasti, jolloin kuitenkin sivuutetaan paljon yksityiskohtia. (Mitä tarkoittaa äärettömän monen nollasta eroavan luvun summa? Mitä tarkoittaa äärettömän monen ykkösestä eroavan luvun tulo?) Kuuluisa matemaatikko Euler laski summan ensimmäisenä, vuonna 1734.
Wallisin tulo Treenataan indekseihin perustuvia merkintätapoja laskemalla ääretön tulo (2*2/1*3)*(4*4/3*5)*... Johdetaan summan kaava oivaltavasti, jolloin kuitenkin sivuutetaan paljon yksityiskohtia. (Mitä tarkoittaa äärettömän monen nollasta eroavan luvun summa? Mitä tarkoittaa äärettömän monen ykkösestä eroavan luvun tulo?) Kaavan todisti Wallis vuonna 1656.
Sarja osamurrolla 1 Lasketaan muotoa 1/n(n+2) olevien termien ääretön summa jakamalla termit kahteen osaan, jolloin ongelma yksinkertaistuu. Kyseessä on niinsanottu osamurtokehitelmä, jonka avulla voidaan laskea rationaalifunktioihin liittyviä laskuja, muun muassa integraaleja.
Sarja osamurrolla 2 Lasketaan muotoa 1/n(n+k) olevien termien ääretön summa jakamalla termit kahteen osaan, jolloin ongelma yksinkertaistuu. Kyseessä on niinsanottu osamurtokehitelmä, jonka avulla voidaan laskea rationaalifunktioihin liittyviä laskuja, muun muassa integraaleja.
Kosinin ääretön tulo Kosini voidaan esittää sekä sarjakehitelmänä että tulokehitelmänä. Kehitelmien kertoimia vertaamalla voidaan johtaa erään sarjan summa.
Ala- ja yläsumma Alasumma arvioi funktion kuvaajakäyrän ja x-akselin väliin jäävää pinta-alaa kuvaajakäyrän alapuolella olevilla suorakulmioilla. Yläsumma puolestaan kuvaajakäyrän huippujen korkeudelle ulottuvilla suorakulmioilla.
Yleinen Riemannin summa Yleisessä Riemannin summassa suorakulmioiden korkeudet määräytyvät joidenkin evaluaatiopisteiden eli tägien perusteella. Evaluaatiopisteiden ei tarvitse olla esimerkiksi osavälien päätepisteitä tai kuvaajakäyrien huippujen x-koordinaatteja.
Jaon hienontaminen Jos Riemannin summaan liittyvää jakoa hienontaa/tihentää, niin summa lähestyy kuvaajakäyrän ja x-akselin väliin jäävän pinta-alan suuruutta.
Määrätty integraali Alasummien lukuarvot ovat korkeintaan mikä tahansa yläsumma. Tätä ominaisuutta käyttäen voidaan määritellä funktion integroituvuus ja edelleen määrätyn integraalin arvo.
parillinen ja pariton Jos integroidaan välin [-a,a] yli, niin parittoman funktion integraalista tulee nolla ja parillisen funktion integraali on kaksi kertaa integraali välin [0,a] yli.
Integraalilaskennan väliarvolause kahden funktion tulolle Integraalilaskennan väliarvolauseen yleistys tilanteeseen, jossa integrandina on kahden funktion tulo. Tuloksena saadaan toisen funktion painotettu keskiarvo integroimisvälillä.
Integrointi sijoittamalla 4 Integroidaan määrätty integraali sijoittamalla. Tehdään takaisinsijoitus ja sen jälkeen sijoitetaan alkuperäiset integroimisrajat.
Jakoyhtälö polynomeille Jos korkeampaa astetta oleva polynomi jaetaan matala-asteisemmalla, millainen polynomi on osamäärä ja millainen polynomi on jakojäännös?
Jakokulmassa jakaminen Palautetaan mieleen kuinka lukuja jaetaan jakokulmassa. Huomataan, että lukujen 1/7, 2/7, jne. desimaalikehitelmät koostuvat pätkistä "142857".
Integraalien vertailuperiaate Jos integrandi on monimutkainen, sitä voidaan arvioida yksinkertaisemmaksi. Jos yksinkertaisemman funktion integraali on äärellinen tai ääretön, niin saadaan tietoa alkuperäisen integraalin äärellisyydestä.
Epäoleellinen integraali numeerisesti Lasketaan epäoleellinen integraali numeerisesti. Integraali jaetaan integraaliksi äärellisen välin yli sekä häntäintegraaliksi. Integraali äärellisen välin yli osataan laskea numeerisesti. Häntäintegraalia tulisi osata arvioida.
