Kompleksinen eksponenttifunktio

Funktio \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x\) voidaan ilmaista monella eri tavalla, esimerkiksi $$ e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n. $$ Nämä kaavat ovat mielekkäitä myös, jos muuttujana on kompleksiluku \(z=x+iy=(x,y)\). Tässä imaginaariyksikkö \(i\) toteuttaa \(i^2=-1\), ja \(x\) ja \(y\) ovat reaalilukuja.

Useimmat eksponenttifunktion laskukaavat ovat voimassa myös kompleksiluvuille. Löydetään myös joitakin uusia kaavoja, kuten Eulerin kaava $$ e^{iy}=\cos(y)+i\sin(y), $$ jonka nojalla $$ e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x\cos(y)+ie^x\sin(y). $$ Siis \(z\mapsto e^z\) kuvaa tason pisteen \((x,y)\) tason pisteelle \((e^x\cos(y),e^x\sin(y))\).

Kompleksianalyysin kurssilla osoitetaan, että analyyttinen funktio \(f(z)\) säilyttää kulmien suuruudet, niissä pisteissä, joissa \(f'(z)\neq 0\). Erityisesti \(e^z\) on analyyttinen funktio, jonka derivaatalla ei ole nollakohtia.

Voit tutkia funktiota \(z\mapsto e^z\) alla olevan havainnollistuksen avulla.

Pohdittavaksi. Voitko nähdä havainnollistuksen avulla ominaisuudet