Kurssi

Lause 18.2.5 (Schwarzin epäyhtälö) Sisätuloavaruudessa \(V\) pätee kaikilla \(u,v\in V\) $$ |\langle u,v\rangle|\leq \lVert u\rVert \lVert v\rVert. $$ Lisäksi \(|\langle u,v\rangle|=\lVert u\rVert \lVert v\rVert\) jos ja vain jos \(u\) ja \(v\) ovat lineaarisesti riippuvia, ts. on olemassa \(c\in\mathbb{R}\), jolle \(u=cv\) tai \(v=cu\).

Todistus. (Lause 18.2.5) Jos \(\lVert v\rVert=0\), niin \(v=0_V\) ja väite pätee muodossa \(0\leq 0\). Olkoon \(\lVert v\rVert\gt 0\). Kun \(x\in\mathbb{R}\), niin $$ 0\leq\lVert u-xv\rVert^2=\langle u-xv,u-xv\rangle =\langle u,u\rangle-2x\langle u,v\rangle+x^2\langle v,v\rangle=f(x), $$ joten paraabelilla \(f\) on korkeintaan yksi nollakohta. Näin ollen diskriminantille \(D\) pätee $$ D=4\langle u,v\rangle^2-4\langle u,u\rangle\langle v,v\rangle\leq 0 $$ eli $$ \langle u,v\rangle^2-\lVert u\rVert^2\lVert v\rVert^2\leq 0 $$ eli $$ \langle u,v\rangle^2\leq \lVert u\rVert^2\lVert v\rVert^2. $$ Yhtäsuuruuskäsittely extra-materiaalissa.\(\Box\).