Huomautus. Esimerkin päättely osoittaa, että lineaarikuvaus on täysin määrätty, jos lähtöavaruuden kantavektorien kuvat tiedetään.
Olkoon \(L:V\to W\) lineaarikuvaus, olkoon avaruudella \(V\) kanta \(A=\{v_1,\ldots,v_n\}\) ja olkoon \(L(v_1)=w_1\). Olkoon \(v\in V\) mielivaltainen.
Koska \(A\) on kanta, niin vektori \(v\) voidaan esittää muodossa $$ v=a_1v_1+\ldots+a_nv_n, $$ missä \(a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}\). Nyt $$ L(v)=L(a_1v_1+\ldots+a_nv_n) =a_1L(v_1)+\ldots+a_nL(v_n) =a_1w_1+\ldots+a_nw_n. $$ Koska vektorit \(w_1,\ldots,w_n\) on annettu, niin \(L(v)\) tiedetään.