Oheisessa havainnollistuksessa on kompleksilukujono \((x_1, x_2, x_3, x_4)\) ja sen diskreetti Fourier-muunnos (toinen lukujono) \(y_1, y_2, y_3, y_4\), joille pätee $$ y_k=\frac{1}{4}\sum_{j=0}^{4-1}x_je^{-i2\pi jk/4} \quad\textrm{ja}\quad x_k=\sum_{j=0}^{4-1}y_je^{i2\pi jk/4}. $$ Lue halutessasi tarkempi selitys.
Säädä lukua \(k\) tarkastellaksesi eri lukuja \(y_k\).
Voitko nähdä kaavojen $$ \begin{cases} z_0&=\frac{1}{2}(x_0+x_3)\\ z_1&=\frac{1}{2}(x_0-x_3)\\ z_2&=\frac{1}{2}(x_2+x_4)\\ z_3&=\frac{1}{2}(x_2-x_4)\\ \end{cases} \quad\textrm{ja}\quad \begin{cases} y_0&=\frac{1}{2}(z_0+z_2),\\ y_1&=\frac{1}{2}(z_1-iz_3),\\ y_2&=\frac{1}{2}(z_0-z_2),\\ y_3&=\frac{1}{2}(z_1+iz_3).\\ \end{cases} $$ pätevän?Havainnollistuksessa on kompleksilukujono \((x_1, x_2, x_3, x_4)\) ja sen diskreetti Fourier-muunnos (toinen lukujono) \(y_1, y_2, y_3, y_4\), joille pätee $$ y_k=\frac{1}{4}\sum_{j=0}^{4-1}x_je^{-i2\pi jk/4} \quad\textrm{ja}\quad x_k=\sum_{j=0}^{4-1}y_je^{i2\pi jk/4}. $$ Auki kirjoitettuna $$ \begin{array}{rrrrr} y_0&=\frac{1}{4}(x_0&+x_1&+x_2&+x_3),\\ y_1&=\frac{1}{4}(x_0&-ix_1&-x_2&+ix_3),\\ y_2&=\frac{1}{4}(x_0&-x_1&+x_2&-x_3),\\ y_3&=\frac{1}{4}(x_0&+ix_1&-x_2&-ix_3).\\ \end{array} $$ Saadaan $$ \begin{array}{rl} y_0&=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(x_0+x_3)+\frac{1}{2}(x_2+x_4))=\frac{1}{2}(z_0+z_2),\\ y_1&=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(x_0-x_3)-i\frac{1}{2}(x_2-x_4))=\frac{1}{2}(z_1-iz_3),\\ y_2&=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(x_0+x_3)-\frac{1}{2}(x_2+x_4))=\frac{1}{2}(z_0-z_2),\\ y_3&=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(x_0-x_3)+i\frac{1}{2}(x_2-x_4))=\frac{1}{2}(z_1+iz_3).\\ \end{array} $$ Nopea Fourier-muunnos FFT perustuu siihen, että laskemalla välivaiheet \(z_0,z_1,z_2,z_3\) laskussa päästään helpommalla.
Luonnollisesti käänteinen Fourier-muunnos, josta luvuista \(y_k\) lasketaan luvut \(x_k\) voidaan toteuttaa samaan tapaan. Tätä menetelmää kutsutaan nimellä IFFT (nopea käänteinen Fourier-muunnos).