Diskreetti Fourier-muunnos

Oheisessa havainnollistuksessa on kompleksilukujono \((x_1, x_2, x_3, x_4)\) ja sen diskreetti Fourier-muunnos (toinen lukujono) \(y_1, y_2, y_3, y_4\), joille pätee $$ y_k=\frac{1}{4}\sum_{j=0}^{4-1}x_je^{-i2\pi jk/4} \quad\textrm{ja}\quad x_k=\sum_{j=0}^{4-1}y_je^{i2\pi jk/4}. $$ Eksponenttitermit kiertävät lukuja origon ympäri. Tämän jälkeen luvut \(y_k\) ovat lukujen \(x_k\) keskiarvoja ja luvut \(x_k\) ovat lukujen \(y_k\) summia. Lue halutessasi tarkempi selitys.

Pohdittavaksi

Aseta tarkastelu=0. Nyt nähdään luvun \(y_k\) muodostuminen keskiarvona (kierretyistä) luvuista \(x_0,x_1,x_2,x_3\).

• Kun \(k=0\), niin \(y_k=y_0\) on keskiarvo luvuista \(x_0,x_1,x_2,x_3\).
• Kun \(k=1\), niin \(y_k=y_1\) on keskiarvo hieman muokatuista luvuista \(x_0',x_1',x_2',x_3'\). Mikä on lukujen \(x_j\) ja \(x_j'\) suhde toisiinsa?

Aseta tarkastelu=1. Nyt nähdään luvun \(x_k\) muodostuminen summana (kierrettyistä) luvuista \(y_0,y_1,y_2,y_3\) summana.

• Aseta \(x_0=x_2\) ja \(x_1=x_3\). Mitä tapahtuu pisteille \(y_1\) ja \(y_3\)? Säädä lukua \(k\).
• Aseta \(x_0=x_1\) ja \(x_2=x_3\). Mitä tapahtuu pisteelle \(y_2\)? Säädä lukua \(k\).
• Saatko aikaan tilanteen, jossa \(y_0=0\)?
• Aseta pisteet \(x_j\) yksikköympyrälle: \(x_1=(3,0)\), \(x_2=(0,3)\), \(x_3=(-3,0)\) ja \(x_4=(0,-3)\). Mitä tapahtuu?

Tarkempi selitys

Tulossa.