Olkoon \(f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}\). Tietyin oletuksin pätee \begin{equation} \label{fsarja} f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx).\tag{$*$} \end{equation} Tässä arvoilla \(n=0,1,\ldots\) $$ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt $$ ja $$ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt. $$ Koska \(\cos(0)=1\), niin $$ a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt. $$ Koska \(\sin(0)=0\), niin \(b_0=0\). Tätä termiä ei tule sarjaesitykseen.
Koska sarja \((*)\) suppenee, niin $$ \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0. $$
Jos \(f\) on pariton, niin \(a_n=0\) kaikilla \(n=0,1,\ldots\). Jos taas \(f\) on parillinen, niin \(b_n=0\) kaikilla \(n=0,1,\ldots\).
Oheisessa kuvassa on tasopisteet \(A,B,C,A',B',C'\), joita voit liikuttaa \(y\)-suunnassa. Kuvaan on piirretty pisteiden kautta kulkeva mahdollisimman matala-asteinen polynomi.
Voit kiinnittää nappia painamalla, että polynomi on pariton. Tällöin välttämättä \(A'\) on pisteen \(A\) peilikuva origon suhteen, ja sitä ei voi vapaasti säätää. (Pisteet \(B'\) ja \(C'\) vastaavasti.)
Toisaalta voit asettaa polynomin parilliseksi, jolloin \(A'\) on pisteen \(A\) peilikuva \(y\)-akselin suhteen.