Processing math: 100%

Fourier-kertoimet

Olkoon $f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}$. Tietyin oletuksin pätee $$\begin{equation} \label{fsarja} f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx).\tag{$*$} \end{equation}$$ Tässä arvoilla $n=0,1,\ldots$ $$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt$$ ja $$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt.$$ Koska $\cos(0)=1$, niin $$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt.$$ Koska $\sin(0)=0$, niin $b_0=0$. Tätä termiä ei tule sarjaesitykseen.

Koska sarja $(*)$ suppenee, niin $$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0.$$

Jos $f$ on pariton, niin $a_n=0$ kaikilla $n=0,1,\ldots$. Jos taas $f$ on parillinen, niin $b_n=0$ kaikilla $n=0,1,\ldots$.

Havainnollistus

Oheisessa kuvassa on tasopisteet $A,B,C,A',B',C'$, joita voit liikuttaa $y$-suunnassa. Kuvaan on piirretty pisteiden kautta kulkeva mahdollisimman matala-asteinen polynomi.

Voit kiinnittää nappia painamalla, että polynomi on pariton. Tällöin välttämättä $A'$ on pisteen $A$ peilikuva origon suhteen, ja sitä ei voi vapaasti säätää. (Pisteet $B'$ ja $C'$ vastaavasti.)

Toisaalta voit asettaa polynomin parilliseksi, jolloin $A'$ on pisteen $A$ peilikuva $y$-akselin suhteen.