Kompleksinen trigonometrinen polynomi

Oheisessa havainnollistuksessa on trigonometrinen polynomi $$ s_N(t)=\sum_{n=0}^{N}c_ne^{n\cdot i t}, $$ missä luvut $c_n$ ovat kompleksilukuja. Lue halutessasi tarkempi selitys.

Pohdittavaksi.

Säädä kertoimia $c_n$, jolloin kuvio muuttuu.
Aseta $c_1=4$, $c_2=2$ ja $c_3=0$, syntyvä kuvio on kardioidi.
Aseta $c_1=6$, $c_2=0$ ja $c_3=2$, syntyvä kuvio on nefroidi.
Saat apukuvioita näkyviin säätämällä "selitteet"-liukua.

Tarkempi selitys

Tarkastellaan trigonometrista polynomia $$ s_N(t)=\sum_{n=0}^{N}c_ne^{n\cdot i t}. $$ Tässä luvut $c_n$ ovat kompleksilukuja eli muotoa $$ c_n=a_n+ib_n=r_ne^{i\theta_n}=r_n(\cos(\theta_n),\sin(\theta_n)), $$ missä $r_n=|c_n|$ on luvun $c_n$ etäisyys origosta ja $\theta_n=Arg(c_n)$ on luvun $c_n$ vaihekulma.

Piste $$ e^{n\cdot i t}=\cos(nt)+i\sin(nt)=(\cos(nt),\sin(nt)) $$ on yksikköympyrällä ja kiertää yksikköympyrää vastapäivään nopeudella $n$. Täten piste $$ c_ne^{n\cdot i t}=r_n(\cos(n\cdot it+\theta_n),\sin(n\cdot it+\theta_n)) $$ kiertää $r_n$-säteistä ympyrää ja on arvolla $t=0$ pisteessä $c_n$.

Kuviossa arvoa $n+1$ vastaavan ympyrän keskipiste on laitettu pisteeseen $s_n(t)$ ja keskipisteestä on piirretty nuoli pisteeseen $s_{n+1}(t)$.

Usein trigonometriset polynomit ovat muotoa $$ s_N(t)=\sum_{n=-N}^{N}c_ne^{n\cdot i t}, $$ eli $n$ saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Tässä havainnollistuksessa $n$ saa vain ei-negatiivisia arvoja yksinkertaistuksen vuoksi.

Tiettyjen ehtojen vallitessa $2\pi$-jaksolliselle funktiolle $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$, $$ f(t)=u(t)+iv(t), $$ missä $u,v:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, löydetään kompleksinen Fourier-sarjaesitys $$ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{n\cdot i t}. $$