Funktio \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\sin(x)\) voidaan ilmaista Eulerin kaavan $$ e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x) $$ nojalla muodossa $$ \sin(x)=\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix}). $$ Esimerkiksi tämä kaava voidaan ottaa kompleksisen sinifunktion määritelmäksi, eli muuttujan \(x\) paikalle voidaan laittaa kompleksiluku \(z=x+iy=(x,y)\).
Trigonometrisilla ja hyperbolisilla funktioilla on suora yhteys kompleksimuuttujan tapauksessa. Hyperbolinen sini on $$ \sinh(x)=\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}), $$ joten \(\sinh(ix)=i\sin(x)\). Tätä puolittain derivoimalla saadaan \(\cosh(ix)=\cos(x)\).
Sinin summakaavan sekä edellä olevien kaavojen avulla saadaan $$ \sin(x+iy)=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy) =\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y). $$ Siis kuvaus \(z\mapsto \sin(z)\) kuvaa tason pisteen \((x,y)\) pisteelle \((\sin(x)\cosh(y),\cos(x)\sinh(y))\).
Voit tutkia funktiota \(z\mapsto \sin(z)\) alla olevan havainnollistuksen avulla.
Pohdittavaksi. Voitko nähdä havainnollistuksen avulla ominaisuudet