Processing math: 100%

Kompleksinen sinifunktio

Funktio $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\sin(x)$ voidaan ilmaista Eulerin kaavan $$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$$ nojalla muodossa $$\sin(x)=\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix}).$$ Esimerkiksi tämä kaava voidaan ottaa kompleksisen sinifunktion määritelmäksi, eli muuttujan $x$ paikalle voidaan laittaa kompleksiluku $z=x+iy=(x,y)$.

Trigonometrisilla ja hyperbolisilla funktioilla on suora yhteys kompleksimuuttujan tapauksessa. Hyperbolinen sini on $$\sinh(x)=\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}),$$ joten $\sinh(ix)=i\sin(x)$. Tätä puolittain derivoimalla saadaan $\cosh(ix)=\cos(x)$.

Sinin summakaavan sekä edellä olevien kaavojen avulla saadaan $$\sin(x+iy)=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy) =\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y).$$ Siis kuvaus $z\mapsto \sin(z)$ kuvaa tason pisteen $(x,y)$ pisteelle $(\sin(x)\cosh(y),\cos(x)\sinh(y))$.

Voit tutkia funktiota $z\mapsto \sin(z)$ alla olevan havainnollistuksen avulla.

Pohdittavaksi. Voitko nähdä havainnollistuksen avulla ominaisuudet

• $\sin(z)\in[-1,1]$, kun $z\in\mathbb{R}$;
• $\sin(z)$ on $2\pi$-jaksollinen;
• $\sin(z)$ säilyttää kulmien suuruudet, paitsi sen derivaatan $\cos(z)$ nollakohdissa $\frac{\pi}{2}\pm n\pi$;
• $\lim_{|y|\to \infty}|\sin(x+iy)|=\infty;$
• $\sin(z)\approx z$, kun $z\approx 0$.