Säädä alla olevaa dynaamista kuviota. Jos haluat, lue ilmiön selitys.
Eksponentiaalista vaimenemista, ja oskillaatiota voidaan mallintaa toisen kertaluvun vakiokertoimisella lineaarisella differentiaaliyhtälöllä $$ ax''+bx'+c=0. $$ Olettaen, että kappaleeseen, jonka massa on \(m\), vaikuttaa jousivoima \(F_k=-kx\) ja muotoa \(F_R=-Rx'\) oleva vaimentava voima, kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima on $$ \sum F=F_k+F_R=-kx-Rx'. $$ Newtonin kolmannen lain nojalla tämä on kappaleen massan ja kiihtyvyyden tulo \(mx''\) ja saadaan $$ mx''=-kx-Rx', $$ joten $$ mx''+Rx'+kx=0. $$ Olettamalla, että \(x(t)=e^{rt}\), jollakin \(r\in\mathbb{R}\) saadaan \(x'(t)=re^{rt}\) ja \(x''(t)=r^2e^{rt}\). Sijoittamalla nämä yhtälöön ja jakamalla tekijällä \(e^{rt}\neq 0\) saadaan karakteristinen yhtälö $$ mr^2+Rr+k=0, $$ jolla on ratkaisut $$ r=\frac{-R\pm\sqrt{R^2-4mk}}{2m}. $$ Ratkaisujen luonne riippuu diskriminantin \(\Delta=R^2-4mk\) merkistä. Saadaan kaksi reaalista ratkaisua (tapaus \(\Delta\gt 0\)), yksi reaalinen ratkaisu (tapaus \(\Delta=0\)) tai kaksi kompleksista ratkaisua (tapaus \(\Delta\lt 0\)).
Jos \(R\) on tarpeeksi suuri, diskriminantti \(\Delta=R^2-4mk>0\) ja karakteristisen yhtälön ratkaisut ovat reaalisia $$ r_1=\frac{-R+\sqrt{R^2-4mk}}{2m} $$ ja $$ r_2=\frac{-R-\sqrt{R^2-4mk}}{2m}. $$ Koska \(m,k,R\gt0\), nähdään, että $$ -R+\sqrt{R^2-4mk}<-R+\sqrt{R^2}=0. $$ Siis \(r_1,r_1<0\) ja differentiaaliyhtälön ratkaisu on kahden eksponentiaalisesti vaimenevan funktion lineaarikombinaatio $$ x(t)=Ae^{r_1t}+Be^{r_2t}. $$ Tämä vastaa ylikriittisesti vaimennettua värähtelijää, joka ei oskilloi.
Tapauksessa \(D=R^2-4mk=0\) saadaan $$ r=-\frac{R}{2m} $$ ja voidaan osoittaa, että ratkaisu on muotoa $$ x(t)=(A+tB)e^{-\frac{R}{2m}t}. $$ Jos arvot \(m,k,R\) valitaan satunnaisesti, tämä tapaus on epätodennäköinen. Kuitenkin, tässä tilanteessa \(x(t)\to 0\), kun \(t\to\infty\), nopeimmalla mahdollisella tavalla; sanotaan, että värähtelijä on kriittisesti vaimennettu.
Mikäli \(R\gt 0\) on tarpeeksi pieni, tällöin \(D=R^2-4mk<0\) ja saadaan $$ r_1=\frac{-R+i\sqrt{-D}}{2m} $$ ja $$ r_2=\frac{-R-i\sqrt{-D}}{2m}. $$ Nyt \(r_1\) ja \(r_2\) ovat kompleksilukuja, joilla voi laskea kuten reaaliluvuilla, kunhan otetaan huomioon, että imaginääriyksikölle \(i\) pätee \(i^2=-1\). Tämä johtaa ratkaisuun $$ x(t)=Ae^{-\frac{R}{2m}t}\sin\left(\underbrace{\frac{\sqrt{4mk-R^2}}{2m}}_{=\omega}+\varphi_0\right). $$ Tällöin systeemi oskilloi ja värähtelyn sanotaan olevan alikriittisesti vaimennettua.
Jos \(R=0\), saadaan vaimentamaton värähtelijä ja karakteristinen yhtälö \(r^2+\omega^2=0\), missä \(\omega^2=\frac{k}{m}\) ja \(r=\pm\omega i\) ja $$ x(t)=\sin(\omega t+\varphi_0). $$