Ristitulo (3d)

Oheisessa dynaamisessa kuviossa on vektorit $\overline{v}$ ja $\overline{w}$ sekä niiden ristitulo $\overline{u}=\overline{v}\times\overline{w}$. Ristitulovektorilla on seuraavat ominaisuudet.

Ristitulo $\overline{u}$ on kumpaakin tekijäänsä vastaan kohtisuorassa eli $\overline{u}\perp\overline{v}$ ja $\overline{u}\perp\overline{w}$.
Ristitulon $\overline{u}$ pituus $\lVert\overline{u}\rVert$ on vektorien $\overline{v}$ ja $\overline{w}$ määräämän suunnikkaan pinta-ala.
Vektorit $\overline{v}$, $\overline{w}$ ja $\overline{u}$ muodostavat oikean käden systeemin ($\overline{v}$ etusormi, $\overline{w}$ keskisormi, $\overline{u}$ peukalo).

Säätämisen helpottamiseksi vektori $\overline{v}$ on hajotettu komponentteihin $$ \overline{v}=(v_1,v_2,v_3)=(v_1,v_2,0)+(0,0,v_3)=\overline{v}_{xy}+\overline{v}_z. $$ Voit säätää komponenttia $\overline{v}_{xy}$ liikuttamalla $xy$-tason pistettä ja säätää komponenttia $\overline{v}_z$ liikuttamalla $z$-akselin pistettä. Voit kääntää kolmiulotteista kuvaa "az" ja "el" -säätimistä.

Pohdittavaa

Näetkö ristitulon ominaisuudet 1. ja 3. kuviota kääntelemällä?
Ristitulon ominaisuuden 2. osalta: voitko todeta, että mitä suurempi suunnikas on, sitä pidempi $\overline{u}$ on?
Aseta $u_z=w_z=0$. Missä vektorit $\overline{v}$ ja $\overline{w}$ sijaitsevat? Minne suuntaan $\overline{u}$ osoittaa? Voitko todeta, että tarkalleen $\lVert\overline{u}\rVert=\textrm{suunnikkaan pinta-ala}$? (Tarkkaa yhtäsuuruutta ei voi yleensä nähdä kuvasta perspektiivin eli 3d-vaikutelman vuoksi.)
Aseta $\overline{v}=(-1,0,1)$ ja $\overline{w}=(0,-2,2)$, jolloin molemmat vektorit ovat vektoria $(1,1,1)$ vastaan kohtisuorassa. Päteekö $\overline{u}=t(1,1,1)$ jollakin $t\in\mathbb{R}$?
Halutaan saada $\overline{u}=(3,2,1)$. Löydätkö vektoreille $\overline{v}$ ja $\overline{w}$ jotkin sopivat paikat? (Kannattaa ehkä asettaa $v_{xy}$ ja $w_{xy}$ esimerkiksi $xy$-tason akseleille.)