Lue halutessasi matemaattinen selitys, jossa on kaavoja.
Oheisessa dynaamisessa kuviossa on vektorit \(\overline{v}\), \(\overline{w}\) ja näiden ristitulo \(\overline{u}=\overline{v}\times\overline{w}\), sekä vielä neljäs vektori \(\overline{p}\). Vektori \(\overline{v}\) on hajotettu osiin $$ \overline{v}=(v_1,v_2,v_3)=(v_1,v_2,0)+(0,0,v_3)=\overline{v}_{xy}+\overline{v}_z. $$ Voit säätää komponenttia \(\overline{v}_{xy}\) liikuttamalla \(xy\)-tason pistettä ja säätää komponenttia \(\overline{v}_z\) liikuttamalla \(z\)-akselin pistettä.
Kolmiulotteisessa kuvassa on vektorien \(\overline{v}\), \(\overline{w}\) ja \(\overline{p}\) määräämä suuntaissärmiö sekä sen tilavuus laskettuna. Sekä vektorin \(\overline{p}\) projektio \(\overline{q}\) vektorille \(\overline{u}\). Voit kääntää kolmiulotteista kuvaa "az" ja "el" -säätimistä.
Tarkastellaan avaruuden kolmea vektoria \(\overline{v}\), \(\overline{w}\) ja \(\overline{p}\), jotka eivät ole samassa tasossa. Tällöin vektorit virittävät erään kolmiulotteisen avaruuden suuntaissärmiön, jonka kukin särmä on jokin näistä vektoreista. Lasketaan tämän suuntaissärmiön tilavuus.
Särmiön tilavuus on tunnetusti pohjan pinta-ala kerrottuna pohjaa vastaan kohtisuoralla korkeudella. (Jos korttipakan sivun kallistaa vinoksi, korttipakan tilavuus ei muutu.)
Tarvittava suuntaissärmiön pohjan pinta-ala on vektorien \(\overline{v}\) ja \(\overline{w}\) määräämän suunnikkaan pinta-ala eli ristitulovektorin \(\overline{v}\times\overline{w}\) pituus \(\lVert \overline{v}\times\overline{w}\rVert\).
Tarvittava suuntaissärmiön pohjaa vastaan kohtisuora korkeus on vektorin \(\overline{u}\) mainittua suunnikasta vastaan kohtisuoran komponentin pituus. Tämä komponentti on vektorin \(\overline{p}\) projektio ristitulovektorille \(\overline{v}\times\overline{w}\) eli $$ \frac{\overline{p}\cdot(\overline{v}\times\overline{w})}{\lVert \overline{v}\times\overline{w}\rVert^2}(\overline{v}\times\overline{w}). $$ Komponentin pituus on $$ \frac{|\overline{p}\cdot(\overline{v}\times\overline{w})|}{\lVert \overline{v}\times\overline{w}\rVert}. $$ Siis suuntaissärmiön tilavuus on $$ \textrm{pohjan ala}\cdot\textrm{korkeus} =\lVert \overline{v}\times\overline{w}\rVert\cdot \frac{|\overline{p}\cdot(\overline{v}\times\overline{w})|}{\lVert \overline{v}\times\overline{w}\rVert} =|\overline{p}\cdot(\overline{v}\times\overline{w})|. $$ Tilavuudelle saatiin yksinkertainen kaava \(V=|\overline{p}\cdot(\overline{v}\times\overline{w})|\). Itseisarvoissa oleva luku \(\overline{p}\cdot(\overline{v}\times\overline{w})\) on vektorien \(\overline{p}\), \(\overline{v}\) ja \(\overline{w}\) vektorikolmitulo.
Koska tilavuus ei riipu siitä, mikä suuntaissärmiön tahko valitaan pohjaksi, niin kaikki muotoa \(|\overline{a}\cdot(\overline{b}\times\overline{c})|\) olevat luvut, missä \(\{\overline{a},\overline{c},\overline{b}\}=\{\overline{p},\overline{v},\overline{w}\}\), ovat yhtäsuuria. Lisäksi $$ \overline{p}\cdot(\overline{v}\times\overline{w}) =\overline{v}\cdot(\overline{w}\times\overline{p}) =\overline{w}\cdot(\overline{p}\times\overline{v}) $$ eli nämä luvut ovat samanmerkkisiä (sen lisäksi, että niiden itseisarvot ovat yhtä suuret).