Processing math: 100%

Vektorikolmitulo

Oheisessa dynaamisessa kuviossa on vektorit $\overline{v}$ , $\overline{w}$ ja näiden ristitulo $\overline{u}=\overline{v}\times\overline{w}$ , sekä vielä neljäs vektori $\overline{p}$ . Vektori $\overline{v}$ on hajotettu osiin $\overline{v}=(v_1,v_2,v_3)=(v_1,v_2,0)+(0,0,v_3)=\overline{v}_{xy}+\overline{v}_z.$ Voit säätää komponenttia $\overline{v}_{xy}$ liikuttamalla $xy$ -tason pistettä ja säätää komponenttia $\overline{v}_z$ liikuttamalla $z$ -akselin pistettä.

Kolmiulotteisessa kuvassa on vektorien $\overline{v}$ , $\overline{w}$ ja $\overline{p}$ määräämä suuntaissärmiö sekä sen tilavuus laskettuna. Sekä vektorin $\overline{p}$ projektio $\overline{q}$ vektorille $\overline{u}$ . Voit kääntää kolmiulotteista kuvaa "az" ja "el" -säätimistä.

Kysymyksiä

Millaisessa tilanteessa $\overline{q}=(0,0,0)$ ?
Mitä tapahtuu, jos $p_{xy}=(0,0)$ ja $v_z=w_z=0$ ?
Miten saat särmiöstä suorakulmaisen?
Miten saat särmiöstä kuution?

0,0

v_xy

w_xy

p_xy

v_z

w_z

p_z

u_z

u_xy

az = 0.54

el = 0.44

$\overline{v}$

$\overline{w}$

$\overline{u}$

$\overline{p}$

tilavuus =-4.50

$\overline{q}$

Selitys

Tarkastellaan avaruuden kolmea vektoria $\overline{v}$ , $\overline{w}$ ja $\overline{p}$ , jotka eivät ole samassa tasossa. Tällöin vektorit virittävät erään kolmiulotteisen avaruuden suuntaissärmiön, jonka kukin särmä on jokin näistä vektoreista. Lasketaan tämän suuntaissärmiön tilavuus.

Särmiön tilavuus on tunnetusti pohjan pinta-ala kerrottuna pohjaa vastaan kohtisuoralla korkeudella. (Jos korttipakan sivun kallistaa vinoksi, korttipakan tilavuus ei muutu.)

Tarvittava suuntaissärmiön pohjan pinta-ala on vektorien $\overline{v}$ ja $\overline{w}$ määräämän suunnikkaan pinta-ala eli ristitulovektorin $\overline{v}\times\overline{w}$ pituus $\lVert \overline{v}\times\overline{w}\rVert$ .

Tarvittava suuntaissärmiön pohjaa vastaan kohtisuora korkeus on vektorin $\overline{u}$ mainittua suunnikasta vastaan kohtisuoran komponentin pituus. Tämä komponentti on vektorin $\overline{p}$ projektio ristitulovektorille $\overline{v}\times\overline{w}$ eli $\frac{\overline{p}\cdot(\overline{v}\times\overline{w})}{\lVert \overline{v}\times\overline{w}\rVert^2}(\overline{v}\times\overline{w}).$ Komponentin pituus on $\frac{|\overline{p}\cdot(\overline{v}\times\overline{w})|}{\lVert \overline{v}\times\overline{w}\rVert}.$ Siis suuntaissärmiön tilavuus on $\textrm{pohjan ala}\cdot\textrm{korkeus} =\lVert \overline{v}\times\overline{w}\rVert\cdot \frac{|\overline{p}\cdot(\overline{v}\times\overline{w})|}{\lVert \overline{v}\times\overline{w}\rVert} =|\overline{p}\cdot(\overline{v}\times\overline{w})|.$ Tilavuudelle saatiin yksinkertainen kaava $V=|\overline{p}\cdot(\overline{v}\times\overline{w})|$ . Itseisarvoissa oleva luku $\overline{p}\cdot(\overline{v}\times\overline{w})$ on vektorien $\overline{p}$ , $\overline{v}$ ja $\overline{w}$ vektorikolmitulo.

Koska tilavuus ei riipu siitä, mikä suuntaissärmiön tahko valitaan pohjaksi, niin kaikki muotoa $|\overline{a}\cdot(\overline{b}\times\overline{c})|$ olevat luvut, missä $\{\overline{a},\overline{c},\overline{b}\}=\{\overline{p},\overline{v},\overline{w}\}$ , ovat yhtäsuuria. Lisäksi $\overline{p}\cdot(\overline{v}\times\overline{w}) =\overline{v}\cdot(\overline{w}\times\overline{p}) =\overline{w}\cdot(\overline{p}\times\overline{v})$ eli nämä luvut ovat samanmerkkisiä (sen lisäksi, että niiden itseisarvot ovat yhtä suuret).