Lineaarikuvauksen ydin ja kuvajoukko

Olkoot $V$ ja $W$ reaalikertoimisia lineaariavaruuksia ja $L:V\to W$ lineaarikuvaus eli $$ L(a\overline{u}+b\overline{v})= aL(\overline{u})+bL(\overline{v}) $$ kaikilla $\overline{u},\overline{v}\in V$ ja $a,b\in\mathbb{R}$.

Kuvauksen $L$ ydin $\mathrm{ker}(L)$ koostuu niistä $\overline{u}\in V$, joille $L(\overline{u})=\overline{0}_W$. Toisaalta kuvauksen $L$ kuvajoukko $L(V)$ koostuu kaikista kuvapisteistä $L(\overline{u})$.

Jos avaruuksissa $V$ ja $W$ on määritelty vektorien väliset kulmat (eli $V$ ja $W$ ovat niin sanottuja sisätuloavaruuksia), niin voidaan määritellä joukkoja $\mathrm{ker}(L)$ ja $L(V)$ vastaan kohtisuorat aliavaruudet.

Oheisessa dynaamisessa kuviossa $V=W=\mathbb{R}^2$. Voit tutkia kuviota vapaasti ja tarkastella mm. kysymyksiä

Liikuta liukua $\alpha$.

Milloin $L(\overline{u})=\overline{0}_W$?
Milloin $\lvert L(\overline{u})\rvert$ on suurin?

Liikuta liukuja.

Saatko aikaan tilanteen $L(\overline{u})=\overline{0}_W$, $L(\overline{v})=\overline{v}_2$, ja $L(\overline{w})=\overline{w}_2$?