Singulaariarvohajotelma

Kaikille matriiseille $A\in\mathbb{R}^{2\times2}$ voidaan tehdä singulaarihajotelma $$ A=U\Sigma V^*, $$ missä $\Sigma$ on diagonaalimatriisi, jonka diagonaalilla ovat matriisin $A$ singulaariarvot $\sigma_1$ ja $\sigma_2$. Tässä $U$ ja $V$ ovat unitaareja matriiseja. Matriisi $M$ on unitaarinen, jos sen konjugaattitranspoosi on sen käänteismatriisi eli $M*M=MM*=I$.

Oheinen havainnollistus kuvaa, miten $A=U\Sigma V^*$ kuvaa origokeskisen ellipsin. Havainnollistukseen on valittu tilanne, jossa $$ U= \left(\begin{array}{cc} \cos(\theta_2)&-\sin(\theta_1)\\ \sin(\theta_2)&\cos(\theta_1) \end{array}\right), \quad V= \left(\begin{array}{cc} \cos(\theta_2)&-\sin(\theta_2)\\ \sin(\theta_2)&\cos(\theta_2) \end{array}\right) $$ ovat kiertomatriiseja. (Yleisessä tilanteessa matriisit $U$ ja $V$ voisivat tuottaa myös tason peilauksen.)

Aluksi $V^*$ kiertää tasoa kulman $\theta_2$ verran myötäpäivään.
Tämän jälkeen $\Sigma$ venyttää tasoa vaakasuunnassa kertoimella $\sigma_1$ ja pystysuunnassa kertoimella $\sigma_2$.
Tämän jälkeen matriisi $U$ kiertää tasoa kulman $\theta_1$ verran vastapäivään.

Jos $U=V$, niin matriisi $A$ on diagonalisoituva ja singulaariarvot ovat matriisin $A$ ominaisarvot. Tällöin ne vektorit ${\bf z}$ ja ${\bf w}$, jotka $V^*$ kuvaa koordinaattiakselien suuntaisiksi, kuvautuvat lopulta itselleen yhdensuuntaisiksi.

Alkuperäisen tason kantavektorit ${\bf u}$ ja ${\bf v}$ voivat kuvautua mille tason vektoreille tahansa.

Matriisien determinanteille pätee $$ \det(A)=\det(U\Sigma V^*)=\det(U)\det(\Sigma)\det(V^*)=1\cdot\det(\Sigma)\cdot 1=\det(\Sigma)=\sigma_1\sigma_2. $$

(Tekninen huomautus: Matriiseja on mahdollista esittää myös ilman MathJaxia. Tällöin luvut latautuvat nopeammin, esimerkki: )