Jos ympyräkartiota leikataan tasolla, syntyvä kartion ja tason leikkauskäyrä on kartioleikkaus.
Kartioleikkauksia ovat ympyrä, ellipsi, hyperbeli ja paraabeli.
Ennen kuin ryhdytään laskemaan, voidaan tutkailla kartioleikkauksia dynaamisten kuvien avulla.
Voit liikuttaa ympyrän keskipistettä \(C\) ja kehän pistettä \(P\).
Voit liikuttaa ellipsin polttopisteitä eli fokuksia \(F_1\) ja \(F_2\) sekä kehän pistettä \(P\).
Jos laitat polttopisteet päällekäin, saat ympyrän. Siis ympyrä on ellipsin erikoistapaus.
Matematiikassa pyritään johtamaan lauseita, jotka pätevät mahdollisimman yleisesti. Yleensä pyritään eroon kaikista poikkeuksista.
Siispä voidaan esimerkiksi hyväksyä, että kaikki ympyrät ovat myös ellipsejä. Vastaavasti lienee kätevää hyväksyä, että
Voit liikuttaa ellipsin polttopisteitä \(F_1\) ja \(F_2\) sekä parametria.
Kun parametri muuttuu, ellipsin muoto muuttuu.
Voit liikuttaa hyperbelin polttopisteitä \(F_1\) ja \(F_2\) sekä kehän pistettä \(P\).
Muistatko millainen funktion \(f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{1}{x}\), kuvaaja on? Kuvaaja on eräs hyperbeli.
Osaisitko siirtää pisteet \(F_1,F_2,P\) siten, että saisit tulokseksi tämän käyrän?
Voit liikuttaa hyperbelin polttopisteitä \(F_1\) ja \(F_2\) sekä parametria.
Kun parametri muuttuu, hyperbelin muoto muuttuu.
Voit liikuttaa pisteitä \(A\) ja \(B\), jolloin niiden kautta kulkeva suora muuttuu. Suora on kuvassa olevan paraabelin johtosuora. Voit myös liikuttaa paraabelin polttopistettä \(F\).
Kun parametri muuttuu, hyperbelin muoto muuttuu.
Siis ympyrällä ja paraabelilla on vain yksi polttopiste. (Tunnetusti kaikki ympyrät ovat keskenään yhdenmuotoisia. Voidaan myös osoittaa, että kaikki paraabelit ovat keskenään yhdenmuotoisia.)
Ellipsillä ja hyperbelillä polttopisteitä on kaksi. Tästä johtuen esimerkiksi ellipsejä on eri muotoisia, pyöreämpiä ja soikeampia.
Ohitetaan lauseen todistus.
Jotta lause pätee aina, niin "kartioleikkaukseksi" täytyy hyväksyä myös suora (jos annetut pisteet ovat samalla suoralla) ja toisiaan leikkaava suorapari (esimerkiksi, kun annetut pisteet ovat \((0,1), (0,1), (2,0), (3,0), (4,0)\)).
Voidaan osoittaa, että kaikki toisen asteen tasokäyrät eli muotoa $$ Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0,\quad A,B,C,D,E,F\in\mathbb{R}, $$ olevien yhtälöiden ratkaisujoukot ovat kartioleikkauksia.
Laskujen yksinkertaistamiseksi poistetaan termi \(Cxy\), jolloin yhtälö on muotoa $$ Ax^2+By^2+Dx+Ey+F=0 $$ ja kartioleikkaus on "pysty- tai vaakasuunnassa symmetrinen".
Tarkastellaan seuraavaksi kartioleikkausten määritelmiä.