Kahden muuttujan reaaliarvoisen funktion kuvaaja
Tutustu kuvaan. Lue halutessasi kuvan matemaattinen selitys kuvan alapuolelta.
Tutustu kuvaan. Lue halutessasi kuvan matemaattinen selitys kuvan alapuolelta.
Olkoon \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) jokin jatkuva funktio.
Funktion \(f\) kuvaaja on joukko $$ \{(x,y,f(x,y))\in\mathbb{R}^3\,:\, (x,y)\in\mathbb{R}^2\}. $$ Tämä on jokin kolmiulotteisen avaruuden pinta.
Olkoon nyt \(L>0\) ja rajoitetaan muuttujien tarkasteluväliksi \(x,y\in[-L,L]\).
Valitaan askelpituus \(h>0\), jolloin välin \([-L,L]\) läpi käymiseen tarvitaan \(N=\textrm{ceil}(L/h)\) askelta. Tässä \(\textrm{ceil}(x)=\min\{n\in\mathbb{N}\,:\, x\leq n\}\) on pienin lukua \(x\) suurempi kokonaisluku, eli \(x\) pyöristettynä ylöspäin. Pyöristämällä ylöspäin, saadaan ainakin tarpeeksi monta pistettä.
Generoidaan pisteet $$ x_n=h*n,\quad -N\leq n\leq N, $$ jolloin \([-L,L]\subset[x_{-N},x_{N}]\) eli tarkasteluväli saatiin käytyä läpi.
Oheisessa kuvassa on generoitu funktion \(f\) kuvaajan pisteet pisteet $$ P(n,k)=(x_n,y_k,f(x_n,y_n)),\quad -N\leq n,k\leq N. $$ Lisäksi on piirretty kolmiot \(P(n,k)P(n+1,k)P(n,k+1)\) ja \(P(n,k)P(n-1,k)P(n,k-1)\), jolloin syntyy kolmiulotteinen pinta, joka muodostuu kolmioista. Kolmion kärjet ovat funktion \(f\) kuvaajapinnalla.
Kun lähtöjoukon \(\mathbb{R}^2\) pistettä \(a\) liikuttelee, kyseisen pisteen kuvapiste \(f(a)\) liikkuu funktion \(f\) kuvaajapinnalla.
Voit muuttaa lukuja \(L\) ja \(h\) sekä funktiota oheisen syötelaatikon avulla.
Karteesisten ja pallokoordinaattien yhteys on $$ \begin{cases} x=r\cos\varphi\cos\theta\\ y=r\cos\varphi\sin\theta\\ z=r\sin\varphi \end{cases},\quad \varphi\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],\quad\theta\in[0,2\pi],\quad r\in[0,\infty). $$
Voit muuttaa tarkastelusuuntaa säätämällä kulmia \(\varphi=el\) (elevaatta eli "korkeus" päiväntasaajalta) ja \(\theta=az\) (atsimuutti eli "aikavyöhykekulma" \(x\)-akselilta ).
Joensuulle \(\varphi=el\approx 62^\circ\) ja \(\theta=az\approx 29^\circ\). Pohjoisnavalle \(\varphi=el= 90^\circ\).