Saatetaan yhtälöryhmä \[ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=b_3 \end{cases} \] redusoituun porrasmuotoon eli nollataan vasemmalta puolelta kaikki muut paitsi diagonaalikertoimet \(a_{11}\), \(a_{22}\) ja \(a_{33}\), ja skaalataan diagonaalikertoimet ykkösiksi. Oletetaan, että tämä onnistuu ongelmitta.
Kerroin \(a_{21}\) voidaan nollata vähentämällä toisesta yhtälöstä ensimmäisen moninkerta. Nimittäin, jos \(a_{11}\neq 0\), niin löytyy luku \(C\), jolle \(a_{21}-Ca_{11}=0\). Sopiva luku \(C\) on \(C=\frac{a_{21}}{a_{11}}\). Jos kerroin \(a_{11}\) on hyvin pieni, niin luku \(C\) on todennäköisesti suuri ja alla olevassa dynaamisessa kuviossa loppuu pelivara. Sen vuoksi, skaalataan \(a_{11}\) aluksi ykköseksi kertomalla vakiolla \(A_1\), jolloin \(A_1a_{11}=1\). Tämän jälkeen etsitään sopiva luku \(A_2\) siten, että \[ a_{21}-Ca_{11}=a_{21}-A_2A_1a_{11}=0. \] Tämän jälkeen kertoimella \(A_3\) nollataan \(a_{31}\).
Tämän jälkeen kertoimilla \(B_1, B_2\) nollataan \(a_{32}\), kertoimilla \(C_1,C_2,C_3\) nollataan \(a_{23}, a_{13}\), ja kertoimilla \(D_1,D_2\) nollataan \(a_{13}\).
Dynaamiseen kuvioon on laitettu kertoimiksi \(a_{jk}\) jotkin luvut, joilla ei tule ongelmia. Voit liikuttaa lukuja dynaamisessa kuviossa. Näet yhtälöryhmän kokonaismatriisin kunkin vaiheen jälkeen.
Tehtävä. Selvitä yhtälöryhmän \[ \begin{cases} 2x_1+1x_2+1x_3&=3\\ 1x_1+2x_2+1x_3&=4\\ 1x_1+1x_2+2x_3&=5 \end{cases} \] ratkaisu dynaamisen kuvion avulla.