Luottamusväli

Oletetaan, että satunnaismuuttuja noudattaa normalisoitua normaalijakaumaa. Voidaan etsiä väli $[-L,L]$ siten, että satunnaismuuttuja on todennäköisyydellä $C$ välillä $[-L,L]$.

Olkoon jonkin suureen tarkka arvo $x_t$. Suuretta voidaan tutkia tekemällä $n$ mittausta, joiden arvot ovat $x_i$ Näiden perusteella saadaan suureelle arvio mittaustulosten keskiarvona, niin sanottu otoskeskiarvo $$ \bar{x}=\frac{\sum_{i=i}^nx_i}{n}. $$ Voidaan laskea mittausten otoshajonta $$ s=\sqrt{\frac{\sum_{i=i}^n(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}. $$ Miten lähellä otoskeskiarvo $\bar{x}$ on tarkkaa arvoa $x_t$? Miten etäisyyttä voidaan tutkia, jos tarkka arvo $x_t$ ei ole tiedossa? Tähän vaikuttaa moni asia. Luvut $\bar{x}$ ja $x_t$ ovat sitä lähempänä toisiaan

mitä pienempi $s$ on, koska jakauma on tällöin "kapea";
mitä suurempi $n$ on, koska sitä enemmän dataa ilmiöstä saatiin.

Voidaan valita luottamustaso, esimerkiksi $C=95~\%$ ja määrittää luottamusväli $[-a,b]$, jolla $x_t$ on todennäköisyydellä $C$. Valitaan $$ (a,b)=\left(\bar{x}-z^*\frac{s}{\sqrt{n}},\bar{x}+z^*\frac{s}{\sqrt{n}}\right), $$ missä $$ z^*=\Phi^{-1}\left(1-\frac{1-C}{2}\right). $$ Tässä $\Phi$ on normaalijakauman kertymäfunktio.

Alla on suurpiirteinen havainnollistus, jossa voit säätää lukuja $n$ ja $C$.

Virheitä

Funktioita $\Phi$ ja $\Phi^{-1}$ ei käytetty. Käytettiin surkeita arvioita
- $\Phi(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan(x)$
- $\Phi^{-1}(x)=\tan\left(\pi (x-\frac{1}{2})\right)$
tulisi ottaa $\Phi$ JavaScriptikirjastosta, esimerkiksi https://mathjs.org/
jos $n$ on pieni, niin normaalijakauman sijasta tulisi käyttää Studentin t-jakaumaa.

Puutteita

kaksi jakaumaa samaan kuvaan
annettuun dataan perustuvat $\bar{x}$ ja $s$
olisi mukava verrata normaalijakaumaa ja Studentin t-jakaumaa tässä tilanteessa