Kartioleikkaukset

Jos ympyräkartiota leikataan tasolla, syntyvä kartion ja tason leikkauskäyrä on kartioleikkaus.

Kartioleikkauksia ovat ympyrä, ellipsi, hyperbeli ja paraabeli.

Ennen kuin ryhdytään laskemaan, voidaan tutkailla kartioleikkauksia dynaamisten kuvien avulla.

Ympyrä

Määritelmä. Ympyrä koostuu niistä tason pisteistä, jotka ovat kiinteällä etäisyydellä yhdestä kiinnitetystä pisteestä. Kyseessäoleva etäisyys on ympyrän säde, ja kiinnitetty piste on ympyrän keskipiste.

Voit liikuttaa joitakin asioita kuvassa.

Ellipsi

Määritelmä. Ellipsi koostuu niistä tason pisteistä, joiden kahdesta kiinnitetystä pisteestä mitattujen etäisyyksien summa on vakio. Kyseessäolevat kiinteät pisteet ovat ellipsin polttopisteet.

Voit liikuttaa joitakin asioita kuvassa.

Siis kuvan ellipsin polttopisteet ovat \(F_1\) ja \(F_2\) ja tarkastellaan etäisyyksiä \(|F_1P|\) ja \(|F_2P|\) polttopisteistä ellipsin pisteeseen \(P\). Nähdään, että kuvassa pätee \(|F_1P|+|F_2P|\approx 7,22\).

Hyperbeli

Määritelmä. Hyperbeli koostuu niistä tason pisteistä, joiden kahdesta kiinnitetystä pisteestä mitattujen etäisyyksien erotus on vakio. Kyseessäolevat kiinteät pisteet ovat hyperbelin polttopisteet.

Voit liikuttaa joitakin asioita kuvassa.

Siis kuvan hyperbelin polttopisteet ovat \(F_1\) ja \(F_2\) ja tarkastellaan etäisyyksiä \(|F_1P|\) ja \(|F_2P|\) polttopisteistä hyperbelin pisteeseen \(P\). Nähdään, että kuvassa pätee \(|F_1P|-|F_2P|\approx \pm 2\). Nähdään, että \(|F_1P|-|F_2P|\approx - 2\), kun ollaan hyperbelin oikeanpuoleisella haaralla ja \(|F_1P|-|F_2P|\approx + 2\), kun ollaan hyperbelin vasemmanpuoleisella haaralla.

Siis joka tapauksessa pätee \(||F_1P|-|F_2P||=2\).

Paraabeli

Määritelmä. Paraabeli koostuu tason pisteistä \(P\), joiden etäisyys kiinteästä pisteestä \(F\) ja suorasta on yhtäsuuri. Kyseinen piste on paraabelin polttopiste ja suora on paraabelin johtosuora.

Voit liikuttaa joitakin asioita kuvassa.

Seuraavaksi johdetaan näiden käyrien yhtälöt.