Kahden muuttujan reaaliarvoisen funktion kuvaaja

Tutustu kuvaan. Lue halutessasi kuvan matemaattinen selitys kuvan alapuolelta.

var L=3; var h=0.5; var funktio ='Math.sin(x)*Math.cos(y)+1'; function korc() {var x=pp.X();var y=pp.Y(); return eval(funktio);}; maksimi =2; // värejä varten, värit eivät toimi täydellisesti vielä // värien tulisi olla: "mitä korkeammalla, sitä punaisempi"

Olkoon $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ jokin jatkuva funktio.

Funktion $f$ kuvaaja on joukko $$ \{(x,y,f(x,y))\in\mathbb{R}^3\,:\, (x,y)\in\mathbb{R}^2\}. $$ Tämä on jokin kolmiulotteisen avaruuden pinta.

Olkoon nyt $L>0$ ja rajoitetaan muuttujien tarkasteluväliksi $x,y\in[-L,L]$.

Valitaan askelpituus $h>0$, jolloin välin $[-L,L]$ läpi käymiseen tarvitaan $N=\textrm{ceil}(L/h)$ askelta. Tässä $\textrm{ceil}(x)=\min\{n\in\mathbb{N}\,:\, x\leq n\}$ on pienin lukua $x$ suurempi kokonaisluku, eli $x$ pyöristettynä ylöspäin. Pyöristämällä ylöspäin, saadaan ainakin tarpeeksi monta pistettä.

Generoidaan pisteet $$ x_n=h*n,\quad -N\leq n\leq N, $$ jolloin $[-L,L]\subset[x_{-N},x_{N}]$ eli tarkasteluväli saatiin käytyä läpi.

Oheisessa kuvassa on generoitu funktion $f$ kuvaajan pisteet pisteet $$ P(n,k)=(x_n,y_k,f(x_n,y_n)),\quad -N\leq n,k\leq N. $$ Lisäksi on piirretty kolmiot $P(n,k)P(n+1,k)P(n,k+1)$ ja $P(n,k)P(n-1,k)P(n,k-1)$, jolloin syntyy kolmiulotteinen pinta, joka muodostuu kolmioista. Kolmion kärjet ovat funktion $f$ kuvaajapinnalla.

Kun lähtöjoukon $\mathbb{R}^2$ pistettä $a$ liikuttelee, kyseisen pisteen kuvapiste $f(a)$ liikkuu funktion $f$ kuvaajapinnalla.

Voit muuttaa lukuja $L$ ja $h$ sekä funktiota oheisen syötelaatikon avulla.

Karteesisten ja pallokoordinaattien yhteys on $$ \begin{cases} x=r\cos\varphi\cos\theta\\ y=r\cos\varphi\sin\theta\\ z=r\sin\varphi \end{cases},\quad \varphi\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],\quad\theta\in[0,2\pi],\quad r\in[0,\infty). $$

Voit muuttaa tarkastelusuuntaa säätämällä kulmia $\varphi=el$ (elevaatta eli "korkeus" päiväntasaajalta) ja $\theta=az$ (atsimuutti eli "aikavyöhykekulma" $x$-akselilta ).

Joensuulle $\varphi=el\approx 62^\circ$ ja $\theta=az\approx 29^\circ$. Pohjoisnavalle $\varphi=el= 90^\circ$.