Kompleksiluvun käänteisluku

Kertausta luennolta 1

Luennolla 1 käsiteltiin kompleksilukuja $z=x+iy$, missä $x,y\in\mathbb{R}$.
Kompleksiluvuilla voi laskea kuten reaaliluvuilla, täytyy muistaa vain että imaginääriyksikölle $i$ pätee $i^2=-1$.
Kompleksiluvun $z=x+iy$ liittoluku $\bar{z}=x-iy$ on luvun $z$ peilikuva $x$-akselin suhteen.
Pätee $z\bar{z}=x^2+y^2=|z|^2$.

Luento 2

Kompleksiluvun $z=x+iy\neq 0$ käänteisluku on $$ \frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}. $$ Tarkistus. Jos $z=x+iy\neq 0$, niin $|z|^2=x^2+y^2>0$, joten kaava on hyvin määritelty. Saadaan $$ z\cdot\frac{\bar{z}}{|z|^2}=\frac{z\bar{z}}{|z|^2}=\frac{|z|^2}{|z|^2}=1. $$

Voit liikuttaa vasemmanpuoleisen kuvan punaista pistettä $z$. Näet lukujen $\frac{1}{z}$ ja $\bar{z}$ liikkuvan.

Jos $z$ liikkuu pitkin ympyrää, niin $\frac{1}{z}$ liikkuu pitkin erästä toista ympyrää.

Minkä ympyrän tapauksessa pätee $\frac{1}{z}=\bar{z}$? Voit säätää ympyrää sinistä pistettä liikuttamalla.

Jos $z$ liikkuu pitkin origon kautta kulkevaa suoraa, niin $\frac{1}{z}$ liikkuu pitkin erästä toista origon kautta kulkevaa suoraa.

Vasemmanpuoleisessa kuvassa on shakkiruudukko, joka koostuu pisteistä $z_k$. Oikeanpuoleisessa kuvassa on "venynyt shakkiruudukko", joka koostuu pisteistä $\dfrac{1}{z_k}$.

Voit tutkia, mitä kuvaus $z\mapsto\frac{1}{z}$ tekee valokuvalle tällä sivulla. (Sivun latautuminen voi kestää 30 sekuntia.)