Ominaisarvohajotelma

Matriisi $A$ on diagonalisoituva, jos sille voidaan tehdä ominaisarvohajotelma $A=Q^TDQ,$ missä $D$ on diagonaalimatriisi, jonka diagonaalilla ovat matriisin $A$ ominaisarvot $\lambda_1$ ja $\lambda_2$ . Tässä $Q$ on ortonormaali matriisi ja sen vuoksi $Q^T$ on matriisin $Q$ käänteismatriisi eli $Q^T=Q^{-1}$ eli $Q^TQ=QQ^T=I$ .

Oheinen havainnollistus kuvaa, miten $A=Q^TDQ$ kuvaa origokeskisen ellipsin. Havainnollistukseen on valittu tilanne, jossa $Q= \left(\begin{array}{cc} \cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&\cos(\theta) \end{array}\right)$ on kiertomatriisi. (Yleisessä tilanteessa matriisi $Q$ voisi sisältää myös tason peilauksen.)

Aluksi $Q$ kiertää tasoa kulman $\theta$ verran vastapäivään.
Tämän jälkeen $D$ venyttää tasoa vaakasuunnassa kertoimella $\lambda_1$ ja pystysuunnassa kertoimella $\lambda_2$ .
Tämän jälkeen matriisi $Q^T$ kiertää tasoa kulman $\theta$ verran myötäpäivään.

Ominaisvektoreita ovat ne vektorit ${\bf z}$ ja ${\bf w}$ , jotka matriisi $Q$ kuvaa koordinaattiakselien suuntaisiksi.

Alkuperäisen tason kantavektorit ${\bf u}$ ja ${\bf v}$ voivat kuvautua mille tason vektoreille tahansa.

Matriisien determinanteille pätee $\det(A)=\det(Q^TDQ)=\det(Q^T)\det(D)\det(Q)=1\cdot\det(D)\cdot 1=\det(D)=\lambda_1\lambda_2.$

0,0

θ = 4.00

λ₁ = 0.50

λ₂ = 1.30

$Q=\left(\begin{array}{cc}-0.65&0.76\\-0.76&-0.65\end{array}\right)$

$D=\left(\begin{array}{cc}0.50& 0\\0 &1.30\end{array}\right)$

$Q^T=\left(\begin{array}{cc}-0.65&-0.76\\0.76&-0.65\end{array}\right)$

$A=Q^TDQ=\left(\begin{array}{cc}0.96&0.40\\0.40&0.84\end{array}\right)$

(Tekninen huomautus: Matriiseja on mahdollista esittää myös ilman MathJaxia. Tällöin luvut latautuvat nopeammin, esimerkki: )

4.00	4.00
4.00	4.00