Ominaisarvohajotelma
Matriisi A on diagonalisoituva, jos sille voidaan tehdä ominaisarvohajotelma A=QTDQ, missä D on diagonaalimatriisi, jonka diagonaalilla ovat matriisin A ominaisarvot λ1 ja λ2. Tässä Q on ortonormaali matriisi ja sen vuoksi QT on matriisin Q käänteismatriisi eli QT=Q−1 eli QTQ=QQT=I.
Oheinen havainnollistus kuvaa, miten A=QTDQ kuvaa origokeskisen ellipsin. Havainnollistukseen on valittu tilanne, jossa Q=(cos(θ)−sin(θ)sin(θ)cos(θ)) on kiertomatriisi. (Yleisessä tilanteessa matriisi Q voisi sisältää myös tason peilauksen.)
- Aluksi Q kiertää tasoa kulman θ verran vastapäivään.
- Tämän jälkeen D venyttää tasoa vaakasuunnassa kertoimella λ1 ja pystysuunnassa kertoimella λ2.
- Tämän jälkeen matriisi QT kiertää tasoa kulman θ verran myötäpäivään.
Ominaisvektoreita ovat ne vektorit z ja w, jotka matriisi Q kuvaa koordinaattiakselien suuntaisiksi.
Alkuperäisen tason kantavektorit u ja v voivat kuvautua mille tason vektoreille tahansa.
Matriisien determinanteille pätee det(A)=det(QTDQ)=det(QT)det(D)det(Q)=1⋅det(D)⋅1=det(D)=λ1λ2.
(Tekninen huomautus: Matriiseja on mahdollista esittää myös ilman MathJaxia. Tällöin luvut latautuvat nopeammin, esimerkki: )