Ominaisarvohajotelma

Matriisi A on diagonalisoituva, jos sille voidaan tehdä ominaisarvohajotelma A=QTDQ, missä D on diagonaalimatriisi, jonka diagonaalilla ovat matriisin A ominaisarvot λ1 ja λ2. Tässä Q on ortonormaali matriisi ja sen vuoksi QT on matriisin Q käänteismatriisi eli QT=Q1 eli QTQ=QQT=I.

Oheinen havainnollistus kuvaa, miten A=QTDQ kuvaa origokeskisen ellipsin. Havainnollistukseen on valittu tilanne, jossa Q=(cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)) on kiertomatriisi. (Yleisessä tilanteessa matriisi Q voisi sisältää myös tason peilauksen.)

  • Aluksi Q kiertää tasoa kulman θ verran vastapäivään.
  • Tämän jälkeen D venyttää tasoa vaakasuunnassa kertoimella λ1 ja pystysuunnassa kertoimella λ2.
  • Tämän jälkeen matriisi QT kiertää tasoa kulman θ verran myötäpäivään.

Ominaisvektoreita ovat ne vektorit z ja w, jotka matriisi Q kuvaa koordinaattiakselien suuntaisiksi.

Alkuperäisen tason kantavektorit u ja v voivat kuvautua mille tason vektoreille tahansa.

Matriisien determinanteille pätee det(A)=det(QTDQ)=det(QT)det(D)det(Q)=1det(D)1=det(D)=λ1λ2.

θ = 4.00
λ1 = 0.50
λ2 = 1.30
B
u
v
C
u2
v2
D
u3
v3
E
u4
v4
z
w
z2
w2
z3
w3
z4
w4
\(Q=\left(\begin{array}{cc}-0.65&0.76\\-0.76&-0.65\end{array}\right)\)
\(D=\left(\begin{array}{cc}0.50& 0\\0 &1.30\end{array}\right)\)
\(Q^T=\left(\begin{array}{cc}-0.65&-0.76\\0.76&-0.65\end{array}\right)\)
\(A=Q^TDQ=\left(\begin{array}{cc}0.96&0.40\\0.40&0.84\end{array}\right)\)

(Tekninen huomautus: Matriiseja on mahdollista esittää myös ilman MathJaxia. Tällöin luvut latautuvat nopeammin, esimerkki: )

4.004.00
4.004.00