Ominaisarvohajotelma

Jos matriisi \(A\) on reaalinen ja symmetrinen, niin sille voidaan tehdä ominaisarvohajotelma $$ A=Q^TDQ, $$ missä \(D\) on diagonaalimatriisi, jonka diagonaalilla ovat matriisin \(A\) ominaisarvot \(\lambda_1\) ja \(\lambda_2\). Tässä \(Q\) on ortonormaali matriisi ja sen vuoksi \(Q^T\) on matriisin \(Q\) käänteismatriisi eli \(Q^T=Q^{-1}\) eli \(Q^TQ=QQ^T=I\).

Oheinen havainnollistus kuvaa, miten \(A=Q^TDQ\) kuvaa origokeskisen ellipsin. Havainnollistukseen on valittu tilanne, jossa $$ Q= \left(\begin{array}{cc} \cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&\cos(\theta) \end{array}\right) $$ on kiertomatriisi. (Yleisessä tilanteessa matriisi \(Q\) voisi sisältää myös tason peilauksen.)

• Aluksi \(Q\) kiertää tasoa kulman \(\theta\) verran vastapäivään.
• Tämän jälkeen \(D\) venyttää tasoa vaakasuunnassa kertoimella \(\lambda_1\) ja pystysuunnassa kertoimella \(\lambda_2\).
• Tämän jälkeen matriisi \(Q^T\) kiertää tasoa kulman \(\theta\) verran myötäpäivään.

Ominaisvektoreita ovat ne vektorit \({\bf z}\) ja \({\bf w}\), jotka matriisi \(Q\) kuvaa koordinaattiakselien suuntaisiksi.

Alkuperäisen tason kantavektorit \({\bf u}\) ja \({\bf v}\) voivat kuvautua mille tason vektoreille tahansa.

Matriisien determinanteille pätee $$ \det(A)=\det(Q^TDQ)=\det(Q^T)\det(D)\det(Q)=1\cdot\det(D)\cdot 1=\det(D)=\lambda_1\lambda_2. $$

(Tekninen huomautus: Matriiseja on mahdollista esittää myös ilman MathJaxia. Tällöin luvut latautuvat nopeammin, esimerkki: )