Esimerkki. Määrää funktiolle \(f(x,y)=\sqrt{2x^2+e^{2y}}\) likiarvo pisteessä \((2,2;-0,2)\).

Ratkaisu. Käytetään funktion \(f\) linearisointia pisteessä \((2,0)\). Lasketaan osittaisderivaatat. Saadaan $$ f_1(x,y)=\frac{1}{2}(2x^2+e^{2y})^{-\frac{1}{2}}\cdot 4x =\frac{2x}{\sqrt{2x^2+e^{2y}}} $$ ja $$ f_2(x,y)=\frac{1}{2}(2x^2+e^{2y})^{-\frac{1}{2}}\cdot 4e^{2y} =\frac{e^{2y}}{\sqrt{2x^2+e^{2y}}}. $$ Saadaan lineaarinen approksimaatio $$ L(x,y)=f(2,0) +f_1(2,0)(x-2) +f_2(2,0)(y-0) =3+\frac{4}{3}(x-2)+\frac{1}{3}y. $$ Siis $$ f(2,2:-0,2) \approx L(2,2;-0,2) =3+\frac{4}{3}\cdot 0,2-\frac{1}{3}\cdot 0,2=3,2. $$ Laskimella saadaan likiarvo \(f(2,2;-0,2)\approx 3,2172\).

Huomautus. Yhden muuttujan derivoituva funktio on jatkuva, koska saadaan $$ f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)\to f'(a)\cdot 0=0, $$ kun \(x\to a\). Siis \(f(x)\to f(a)\), kun \(x\to a\).

Esimerkki. Määritellään funktio $$ f(x,y)= \begin{cases} \frac{2xy}{x^2+y^2},\quad (x,y)\neq (0,0)\\ 0,\quad (x,y)=(0,0). \end{cases} $$ Tällöin \(f\) on määritelty kaikkialla ja on rationaalifunktiona jatkuva ainakin origon ulkopuolella. Funktiolla \(f\) on osittaisderivaatat origossa, sillä $$ f_1(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0 $$ ja $$ f_2(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0. $$ Onko \(f\) jatkuva origossa?

\(x\)-akselilla \(f(x,0)=0\), joten saadaan raja-arvoehdokas \(0\).

Toisaalta suoralla \(y=x\) pätee \(f(x,x)=2x^2/(x^2+y^2)=1\) aina kun \(x\neq 0\), joten saadaan raja-arvoehdokas \(1\).

Raja-arvoa origossa ei siis ole olemassa, sillä lähestyttäessä origoa eri suunnista saadaan rajalla eri arvoja. Siten funktio \(f\) ei ole jatkuva origossa.

Määritelmä. Funktio \(f(x,y)\) on differentioituva (DIFFVA) pisteessä \((a,b)\), jos $$ \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(a+h,b+k)-L(a+h,b+k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0, $$ missä $$ L(a+h,b+k) =f(a,b)+hf_1(a,b)+kf_2(a,b). $$

Lause. Jos \(f(x,y)\) on differentioituva pisteessä \((a,b)\), niin \(f(x,y)\) on jatkuva pisteessä \((a,b)\).

Todistus. Oletetaan, että \(f\) on DIFFVA pisteessä \((a,b)\). Riittää osoittaa, että $$ \lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b). $$ Koska \(x=a+h\to a\), jos ja vain jos \(h\to 0\), ja \(y=b+k\to b\), jos ja vain jos \(k\to 0\), niin on yhtäpitävää osoittaa, että $$ \lim_{(h,k)\to (0,0)} f(a+h,b+k)=f(a,b). $$ Koska \begin{equation*} \begin{split} &f(a+h,b+k)-f(a,b)\\ &=f(a+h,b+k)-L(a+h,b+k)+hf_1(a,b)+kf_2(a,b)\\ &=\underbrace{\frac{f(a+h,b+k)-L(a+h,b+k)}{\sqrt{h^2+k^2}}}_{\to 0}\underbrace{\sqrt{h^2+k^2}}_{\to 0}\\ &\quad +h\underbrace{f_1(a,b)}_{\in\mathbb{R}} +k\underbrace{f_2(a,b)}_{\in\mathbb{R}}\to 0, \end{split} \end{equation*} kun \((h,k)\to (0,0)\), niin väite seuraa. \(\Box\).