Funktion \(f(x,y)\) osittaisderivaatat \(f_1\) ja \(f_2\) kuvaavat funktion \(f\) kasvunopeuksia koordinaattiakseleiden suunnassa. Tässä luvussa laskemme kasvunopeuden minkä hyvänsä annetun vektorin suunnassa.
Määritellään niin sanottu nabla-operaattori $$ \nabla =\vec{i}\frac{\partial}{\partial x} +\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}, $$ missä \(\vec{i}=(1,0)\) ja \(\vec{j}=(0,1)\) ovat yksikkövektorit.
Esimerkki. Olkoon \(f(x,y)=x^2+y^2\). Tällöin $$ \nabla f(x,y)=2x\vec{i}+2y\vec{j}. $$ Eritoten $$ \nabla f(1,2)=2\vec{i}+4\vec{j}. $$
Tämä vektori on kohtisuorassa ympyrän \(x^2+y^2=5\) pisteessä \((1,2)\) olevan tangentin \(x+2y=5\) kanssa. Ympyrä on funktion \(f\) tasa-arvokäyrä.
Gradienttivektorin kohtisuoruus tasa-arvokäyrään nähden on voimassa yleisestikin.
Todistus. Olkoon \(\vec{r}=\vec{r}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}\) parametrisointi funktion \(f\) tasa-arvokäyrälle siten, että \(x(0)=a\) ja \(y(0)=b\). Funktio \(f\) saa tällä käyrällä siis vakioarvon \(f(a,b)\), toisin sanoin, $$ f(x(t),y(t)=f(a,b). $$ Derivoidaan puolittain muuttujan \(t\) suhteen ja käytetään ketjusääntöä. Saadaan $$ f_1(x(t),y(t))\frac{dx}{dt}+f_2(x(t),y(t))\frac{dy}{dt}=0. $$ Koska $$ \nabla f(x,y)=f_1(x,y)\vec{i}+f_2(x,y)\vec{j} $$ ja $$ \frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dx}{dt}\vec{j}, $$ niin kohdassa \(t=0\) ylläoleva yhtälö voidaan kirjoittaa $$ \nabla f(x(t),y(t)\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}\bigg|_{t=0}=0. $$ Toisin sanoin, gradienttivektori \(\nabla f(a,b)\) on tangenttivektoria vastaan kohtisuorassa pisteessä \((a,b)\). Siten \(\nabla f(a,b)\) on normaalivektori tasa-arvokäyrälle pisteessä \((a,b)\).\(\Box\).