Määritelmä. Olkoon \(f\) määritelty ja rajoitettu joukossa \(D\). Funktion \(f\) nollajatko on $$ f_0(x,y) =\begin{cases} f(x,y),\quad (x,y)\in D,\\ 0,\quad (x,y)\notin D. \end{cases} $$

Apulause. Jos \(D\) on rajoitettu, niin se sisältyy johonkin koordinaattiakselien suuntaiseen suorakaiteeseen \(R\).

Todistus. Koska \(D\) on rajoitettu, niin on olemassa origokeskinen ja \(r\)-säteinen kiekko \(B(0,r)\) siten, että \(D\subset B(0,r)\). Kiekko \(B(0,r)\) leikkaa \(x\)-akselin pisteissä \(\pm r\) ja \(y\)-akselin pisteissä \(\pm r\). Olkoon $$ R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,:\, -r\leq x\leq r,\quad -r\leq y\leq r\}. $$ Tällöin \(R\) on koordinaattiakselien suuntainen ja \(D\subset B(0,r)\subset R\).\(\Box\).

Määritelmä. Jos \(f_0\) on integroituva suorakaiteessa \(R\), niin sanotaan, että \(f\) on integroituva joukossa \(D\subset R\) ja funktion \(f\) kaksoisintegraali joukon \(D\) yli on $$ \int\int_D f(x,y)\,dA=\int\int_R f_0(x,y)\,dA. $$

Lause. Jos \(f\) on jatkuva suljetussa ja rajoitetussa joukossa \(D\), jonka reuna koostuu äärellisen monesta äärellismittaisesta käyrästä, niin \(f\) on integroituva joukossa \(D\).

Huomautus. Vaikka \(f\) olisi jatkuva joukossa \(D\), niin \(f_0\) ei ole jatkuva suorakaiteessa \(R\supset D\), paitsi silloin, kun \(f(x,y)\to 0\), kun $$ (x,y)\to\partial D=\textrm{joukon } D\textrm{ reuna}. $$

Huomautus. Integroinnissa ei ole pakko rajoittua suljettuihin joukkoihin. Jos \(D\) on suljettu ja rajoitettu siten, että sen reuna koostuu äärellisen monesta äärellismittaisesta käyrästä, niin $$ \int\int_{\mathrm{Int}(D)}f(x,y)\,dA= \int\int_D f(x,y)\,dA, $$ missä \(\mathrm{Int}(D)\) on joukon \(D\) sisus eli joukon \(D\) sisäpisteiden muodostama joukko. Tämä johtuu siitä, että \(\mathrm{ala}(\partial D)=0\). (Tämä on yksi kaksoisintegraalin ominaisuuksista.)