Kurssi

Kaksiulotteiset integraalit suorakaiteen yli

Pinta-alaongelmassa halutaan määrittää tasoalueen \(D\) pinta-ala, kun aluetta \(D\) rajoittavat suorat \(x=a\), \(x=b\), \(y=0\) ja käyrä \(y=f(x)\). Pinta-alaksi saadaan $$ \int_a^bf(x)\,dx. $$ Tilavuusongelmassa halutaan määrittää pinnan \(z=f(x,y)\) ja \(xy\)-tason väliin jäävä tilavuus, kun pisteet \((x,y)\) on rajoitettu tasoalueeseen \(D\). Tilavuudeksi saadaan $$ \int\int_{D} f(x,y)\,dA. $$

Suorakaiteet. Olkoon \(D\) aluksi suorakaide $$ a\leq x\leq b,\quad c\leq y\leq d. $$ Muodostetaan alueen \(D\) jako pienempiin suorakaiteisiin \(R_{ij}\), missä $$ 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq m, $$ jakamalla välit \([a,b]\) ja \([c,d]\) osaväleihin $$ a=x_0\lt x_1\lt \cdots \lt x_{m-1}\lt x_m=b $$ ja $$ c=y_0\lt y_1\lt \cdots \lt y_{m-1}\lt y_m=d. $$ Saadaan yhteensä \(mn\) suorakaidetta \(R_{ij}\). Suorakaiteen \(R_{ij}\) ala on $$ \Delta A_{ij}=\Delta x_i\Delta y_i =(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1}) $$ ja halkaisija $$ \mathrm{diam}(R_{ij})=\sqrt{\Delta x_i^2+\Delta y_j^2}. $$ Jaon \(P\) normi on $$ \lVert P\rVert=\max_{i,j}\mathrm{diam}(R_{ij}). $$ Muodostetaan niin sanottu Riemannin summa valitsemalla jokaisesta suorakaiteesta \(R_{ij}\) piste $$ (x_{ij}^*,y_{ij}^*) $$ ja kirjoittamalla $$ R(f,P)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\cdot \Delta A_{ij}. $$ Jos \(f(x,y)\geq 0\), niin $$ f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\cdot \Delta A_{ij} $$ on suorakulmaisen särmiön tilavuus, missä $$ f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)=\textrm{korkeus} $$ ja $$ \Delta A_{ij}=\textrm{pohjan ala}=\mathrm{ala}(R_{ij}). $$

Siten Riemannin summa on approksimaatio alueen \(D\) ja pinnan \(z=f(x,y)\) väliin jäävän kappaleen tilavuudelle. Rajankäynnissä annetaan \(\lVert P\rVert \to 0\), jolloin Riemannin summa lähestyy kappaleen tilavuutta.