Kurssi

1.1. Vektoriavaruus \(\mathbf{R}^n\)


Matematiikassa on tapana sopia käsitteille tarkat määritelmät eli sopimukset, jotka kertovat, mitä käsitteellä tarkoitetaan.

Määritelmä. Oletetaan, että \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\). Vektori on \(n\)-jono $$ (v_1,v_2,\ldots,v_n), $$ missä \(v_1,v_2,\ldots,v_n\in\mathbb{R}\).

Tässä materiaalissa vektori määritellään siis listana lukuja. Kuten edellä todettiin, lukulistamerkintöjä on useita erilaisia. Tässä materiaalissa käytetään kahta erilaista tapaa: $$ (v_1,v_2,\ldots,v_n) \quad\textrm{ja}\quad \left[ \begin{aligned} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{aligned} \right]. $$ Vektoreita voidaan merkitä kummalla tahansa näistä tavoista.

Vektorit muodostavat vektoriavaruuksia. Esimerkiksi muotoa \((a,b)\) olevat vektorit muodostavat vektoriavaruuden \(\mathbb{R}^2\) ja muotoa \((a,b,c)\) olevat vektorit muodostavat vektoriavaruuden \(\mathbb{R}^3\).

Määritelmä. Vektoriavaruus \(\mathbb{R}^n\) on joukko $$ \{(v_1,v_2,\ldots,v_n)\,|\, v_1,v_2,\ldots,v_n\in\mathbb{R}\}. $$ Luvut \(v_1,v_2,\ldots,v_n\) ovat vektorin \(\mathbf{v}\) komponentit.

Vektoreille voidaan määritellä erilaisia laskutoimituksia. Käsitellään ensin yhteenlaskua. Yhteenlasku suoritetaan lisäämällä yhteenlaskettavien vektorien komponentit yhteen.

Määritelmä. Oletetaan, että \(\mathbb{v}\in\mathbb{R}^n\) ja \(\mathbb{w}\in\mathbb{R}^n\). Tällöin $$ \mathbf{v}+\mathbf{w} = \left[ \begin{aligned} v_1+w_1\\ v_2+w_2\\ \vdots\\ v_n+w_n \end{aligned} \right]. $$ Laskutoimitusta nimitetään yhteenlaskuksi.

Vektorit lasketaan siis yhteen siten, että vastaavat komponentit lasketaan yhteen. Siis vektorit lasketaan yhteen komponenteittain.

Esimerkki. Vektorien \(\mathbf{v}=(4,1)\) ja \(\mathbf{w}=(-3,2)\) summa on $$ \mathbf{v}+\mathbf{w} = \left[ \begin{aligned} 4\\ 1 \end{aligned} \right] + \left[ \begin{aligned} -3\\ 2 \end{aligned} \right] = \left[ \begin{aligned} 4+(-3)\\ 1+2 \end{aligned} \right] =\left[ \begin{aligned} 1\\ 3 \end{aligned} \right]. $$


Tehtävä. Laske \((1,-3,7)+(6,5,-12)\).


Yhteenlaskua voidaan havainnollistaa geometrisesti. Nyt on hyödyllistä ajatella vektoreita suuntajanoina, joiden paikalla ei ole merkitystä. Ainoastaan suunta ja pituus merkitsevät. Tällöin vektoreita voi liikutella koordinaatistossa. Vektorien summa nähdään asettamalla vektoreita vastaavat suuntajanat peräkkäin niin, että jälkimmäinen vektori alkaa siitä, mihin ensimmäinen päättyi. Summavektorin alkupiste on ensimmäisen vektorin alkupiste ja päätepiste jälkimmäisen vektorin päätepiste.


Vektorit \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) sekä niiden summa \(\mathbf{v}+\mathbf{w}\).
Määritelmä. Oletetaan, että \(\mathbb{v}\in\mathbb{R}^n\) ja \(c\in\mathbb{R}^n\). Tällöin $$ c\mathbf{v} = \left[ \begin{aligned} cv_1\\ cv_2\\ \vdots\\ cv_n \end{aligned} \right]. $$ Laskutoimitusta nimitetään skalaarikertolaskuksi.

Tutkitaan vaikkapa vektoria \(\mathbf{v}=(4,1)\). Nyt $$ 2\mathbf{v} = 2\left[ \begin{aligned} 4\\ 1 \end{aligned} \right] = \left[ \begin{aligned} 2\cdot 4\\ 2\cdot 1 \end{aligned} \right] = \left[ \begin{aligned} 8\\ 2 \end{aligned} \right] $$ ja $$ -\frac{1}{2}\mathbf{v} = -\frac{1}{2}\left[ \begin{aligned} 4\\ 1 \end{aligned} \right] = \left[ \begin{aligned} -\frac{1}{2}\cdot 4\\ -\frac{1}{2}\cdot 1 \end{aligned} \right] = \left[ \begin{aligned} -2\\ -\frac{1}{2} \end{aligned} \right]. $$

Tehtävä. Laske \(2(1,-3,7)+(6,5,-12)\).


Skalaarimonikerrat \(2\mathbf{v}\) ja \(-\frac{1}{2}\mathbf{v}\) on piirretty oheiseen kuvaan. Huomataan, että skalaarikertolasku venyttää tai kutistaa vektoria. Toisin sanoen se skaalaa vektoria. Vektorin suunta säilyy samana, jos kerroin on positiivinen ja kääntyy vastakkaiseksi, jos kerron on negatiivinen.

Vektorien yhteydessä reaalilukuja kutsutaan skalaareiksi. Jos \(\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\) ja \(c\in\mathbf{R}\), vektoria \(c\mathbf{v}\) nimitetään vektorin \(\mathbf{v}\) skalaarimonikerraksi. Nimitys juontuu siitä, että reaaliluvulla kertominen skaalaa vektoria.


Skalaarimonikerrat \(2\mathbf{v}\) ja \(-\frac{1}{2}\mathbf{v}\).

Skalaarikertolasku säilyttää (tai kääntää vastakkaiseksi) vektorin suunnan. Otetaan tämä havainto yleisten vektorien yhdensuuntaisuuden määritelmäksi.

Määritelmä. Vektoriavaruuden \(\mathbf{R}^n\) vektorit \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) ovat yhdensuuntaiset, jos \(\mathbf{v}=r\mathbf{w}\) jollakin vakiolla \(r\in\mathbf{R}\setminus\{0\}\). Tällöin merkitään \(\mathbf{v}\parallel\mathbf{w}\).

Sovitaan kuitenkin, että nollavektoreilla \((0,0)\), \((0,0,0)\) jne. ei ole suuntaa ja että yhdensuuntaisuutta ei ole niiden tapauksessa määritelty.


Tehtävä. Mitkä vektoreista \((1,2)\), \(1,-2\), \(-2,4\), \((0,0)\) ja \((1,2,3)\) ovat keskenään yhdensuuntaisia?


Määritelmä. Vektorin \(\mathbf{v}\) vastavektori on skalaarimonikerta \((-1)\(\mathbf{v}\)\). Sitä merkitään \(-\(\mathbf{v}\)\).

Siis vektorista saa vastavektorin muuttamalla jokaisen komponentin etumerkin.

Esimerkki. Vektorin \(\mathbf{v}=(-3,\frac{5}{6})\) vastavektori on \(-\mathbf{v}=(3,-\frac{5}{6})\). Näitä on havainnollistettu oheisessa kuvassa. Vastavektori \(-\mathbf{v}\) on yhtä pitkä kuin \(\mathbf{v}\) ja osoittaa vastakkaiseen suuntaan.


Vektori \(\mathbf{v}\) ja sen vastavektori \(-\mathbf{v}\).

Summan ja vastavektorin avulla voidaan määritellä vektorien erotus.

Määritelmä. Vektoreiden \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) erotus on summa \(\mathbf{v}+(-\mathbf{w})\). Sitä merkitään \(\mathbf{v}-\mathbf{w}\).

Vähentäminen on siis vastavektorin lisäämistä.

Esimerkki. Vektorien \(\mathbf{v}=(2,2)\) ja \(\mathbf{v}=(-2,3)\) erotus on

$$ \mathbf{v}-\mathbf{v}=(2,2)-(-2,3)=(2,2)+(-1)(-2,3)=(2,2)+(2,-3)=(4,-1). $$

Vektoreiden erotus on erikoistapaus vektorien summasta, ja erotuksen voikin määrittää kuvasta samaan tapaan kuin summa. Määritelmän mukaan vektorien \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) erotus \(\mathbf{v}-\mathbf{w}\) saadaan laskemalla yhteen vektori \(\mathbf{v}\) ja vastavektori \(-\mathbf{w}\). Piirroksessa tämä tarkoittaa sitä, että jälkimmäisen vektorin suunta on käännettävä ennen yhteenlaskua.


Vektorit \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) sekä niiden erotus \(\mathbf{v}-\mathbf{w}\).
Määritelmä. Vektoria \((0,0,\ldots,0)\) kutsutaan nollavektoriksi. Sille käytetään merkintää \(\mathbf{0}\). Tarvittaessa avaruus voidaan täsmentää alaindeksillä. Siis esimerkiksi avaruudessa \(\mathbf{R}^2\) pätee \((0,0)=\mathbf{0}=\mathbf{0}_2\) ja avaruudessa \(\mathbf{R}^3\) pätee \((0,0,0)=\mathbf{0}=\mathbf{0}_3\).

Pohdi. Marty McFlyn leijulaudalla pystyy kulkemaan vektorien \((3,-2)\) ja \((4,0)\) suuntaisesti (eteen ja taaksepäin). Loun kahvila sijaitsee pisteessä \((-4,4)\).
(i) Mitä yhtälö \((-4,4)=-2(3,-2)+\frac{1}{2}(4,0)\) kertoo Martyn leijulaudan toiminnasta? Mitä vektorien edessä olevat kertoimet kuvaavat?
(ii) Havainnollista kohdan 1 yhtälöä kuvan avulla.

Kun yhteenlasku ja skalaarikertolasku yhdistetään, saadaan aikaiseksi lineaarikombinaatioita.

Lineaarikombinaatio on tärkeä käsite.

Esimerkki. Vektoreiden \(\mathbf{v}=(-5,6)\) ja \(\mathbf{w}=(3,6)\) eräs lineaarikombinaatio on $$ -2\mathbf{v}+\frac{1}{3}\mathbf{w}=-2(-5,6)+\frac{1}{3}(3,6)=(10,12)+(1,2)=(11,14). $$

Määritelmä. Vektori \(\mathbf{w}\in\mathbb{R}^n\) on vektoreiden \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\in\mathbf{R}^n\) lineaarikombinaatio eli lineaariyhdistelmä, jos on olemassa sellaiset reaaliluvut \(a_1,a_2,\ldots,a_k\), että $$ \mathbf{w}=a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+ \ldots+ a_k\mathbf{v}_k. $$

Joskus lineaarikombinaation kertoimet voidaan keksiä arvaamalla.

Esimerkki. Millä luvuilla \(a_1\) ja \(a_2\) pätee $$ a_1(1,2)+a_2(2,-1)=(7,4)? $$ Nähdään, että valinta \(a_1=7\) ja \(a_2=0\) tuottaa $$ 7(1,2)+0(2,-1)=(7,14)\neq (7,4) $$ ja valinta \(a_1=1\) ja \(a_2=3\) tuottaa $$ 1(1,2)+3(2,-1)=(1,2)+(6,-3)=(7,-1)\neq (7,4). $$ Hetken kokeilun jälkeen nähdään, että valinta \(a_1=3\) ja \(a_2=2\) tuottaa $$ 3(1,2)+2(2,-1)=(3,6)+(4,-2)=(7,4). $$ Siis etsityt kertoimet ovat \(a_1=3\) ja \(a_2=2\).

Jos tehtävän tekee arvaamalla, asiaa voi joutua pohtimaan useamman kerran.

Tehtävä. Löydätkö kertoimet \(a_1\) ja \(a_2\), joille pätee $$ a_1(1,1)+a_2(-1,2)=(5,-1)? $$


Aina kertoimien löytäminen ei onnistu.

Tehtävä. Miksi ei ole olemassa kertoimia \(a_1\) ja \(a_2\), joille pätisi $$ a_1(1,1)+a_2(2,2)=(5,4)? $$


Lineaarikombinaation kertoimien etsimisessä tarvitaan tietoa yhtälöryhmien ratkaisemisesta.

Esimerkki. Tutkitaan, onko vektori \(\mathbf{w}=(-2,3,2,-1)\) vektoreiden $$ \mathbf{v}_1=(0,-1,2,1),\quad \mathbf{v}_2=(2,0,1,-1),\quad \mathbf{v}_3=(4,2,2,0) $$ lineaarikombinaatio. On siis selvitettävä, onko olemassa reaalilukuja \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), joille pätee $$ x_1\mathbf{v}_1+x_2\mathbf{v}_2+x_3\mathbf{v}_3=\mathbf{w}. $$ Sijoittamalla annetut vektorit yllä olevaan yhtälöön saadaan $$ x_1(0,-1,2,1)+x_2(2,0,1,-1)+x_3(4,2,2,0)=(-2,3,2,-1) $$ ja laskemalla kerto- ja yhteenlaskut auki yhtälö voidaan vielä muuttaa muotoon $$ (2x_2+4x_3,-x_1+2x_3,2x_1+x_2+2x_3,x_1-x_2)=(-2,3,2,-1). $$ Vektorit ovat samat täsmälleen silloin, kun niiden kaikki komponentit ovat samat. Kun tarkastellaan jokaista komponenttia erikseen, saatua vektoriyhtälöä vastaa yhtälöryhmä $$ \begin{pmatrix} &2x_2&4x_3&=&-2\\ -x_1&&2x_3&=&3\\ 2x_1&x_2&2x_3&=2\\ x_1&-x_2&&=&-1. \end{pmatrix} $$ Miten tällainen yhtälöryhmä ratkaistaan? Ennen kuin voidaan syventyä enemmän lineaarikombinaatioihin, tarvitaan tietoa yhtälönratkaisusta. Yhtälöryhmiin tutustutaan myöhemmin.

Vektoreita, joiden lineaarikombinaatioita käsitellään usein, ovat $$ \mathbf{e}_1 =\left[\begin{aligned} 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{aligned}\right],\quad \mathbf{e}_2 =\left[\begin{aligned} 0\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{aligned}\right],\quad \ldots\quad \mathbf{e}_n =\left[\begin{aligned} 0\\ 0\\ \vdots\\ 1 \end{aligned}\right]. $$

Jokainen avaruuden \(\mathbf{R}^n\) vektori voidaan kirjoittaa näiden vektorien avulla. Esimerkiksi avaruudessa \(\mathbf{R}^3\) vektori $$ \mathbf{v} =\left[\begin{aligned} 5\\ -11\\ \frac{6}{7} \end{aligned}\right] $$ voidaan kirjoittaa muodossa $$ \mathbf{v} =\left[\begin{aligned} 5\\ -11\\ \frac{6}{7} \end{aligned}\right] =5 \left[\begin{aligned} 1\\ 0\\ 0 \end{aligned}\right] -11\left[\begin{aligned} 0\\ 1\\ 0 \end{aligned}\right] +\frac{6}{7} \left[\begin{aligned} 0\\ 0\\ 1 \end{aligned}\right] =5\mathbf{e}_1-11\mathbf{e}_2+\frac{6}{7}\mathbf{e}_3. $$ Yleisesti jokainen avaruuden \(\mathbf{R}^n\) vektori \(\mathbf{v}\) voidaan kirjoittaa tällaisten vektorien avulla $$ \mathbf{v} =\left[\begin{aligned} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_3 \end{aligned}\right] =v_1 \left[\begin{aligned} 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{aligned}\right] +v_2 \left[\begin{aligned} 0\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{aligned}\right] +\ldots +v_n \left[\begin{aligned} 0\\ 0\\ \vdots\\ 1 \end{aligned}\right] =v_1\mathbf{e}_1+v_2\mathbf{e}_2+\ldots+v_n\mathbf{e}_n. $$ Vektoreita \(\mathbf{e}_1,\ldots,v_n\mathbf{e}_n\) kutsutaan avaruuden \(\mathbf{R}^n\) luonnolliseksi kannaksi.

Voidaan osoittaa, että vektoriavaruuden \(\mathbf{R}^n\) vektoreille pätevät koulussa tutut laskusäännöt.

Lause. Oletetaan, että \(\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u}\in\mathbf{R}^n\) ja \(a,b\in\mathbf{R}\). Tällöin seuraavat kaavat pätevät.
1. \(\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{w}+\mathbf{v}\); (vaihdannaisuus)
2. \((\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})\); (liitännäisyys)
3. \(\mathbf{v}+\mathbf{0}=\mathbf{v}\); (\(\mathbf{0}\) on vektorien yhteenlaskun neutraalialkio)
4. \(\mathbf{v}+(-\mathbf{v})=\mathbf{0}\); (vektorin ja vastavektorin summa on nollavektori)
5. \(a(\mathbf{v}+\mathbf{w})=a\mathbf{v}+a\mathbf{w}\); (osittelulaki vektorien summalle)
6. \((a+b)\mathbf{v}=a\mathbf{v}+b\mathbf{v}\); (osittelulaki skalaarien summalle)
7. \(a(b\mathbf{v})=(ab)\mathbf{v}\); (vakion siirto)
8. \(1\mathbf{v}=\mathbf{v}\); (skalaari \(1\) on skaalaamisen neutraalialkio)
9. \(0\mathbf{v}=\mathbf{0}=\mathbf{0}a\). (nollavektorin ominaisuuksia)

Matematiikassa lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella todeksi nojautumalla määritelmiin ja aikaisemmin todeksi osoitettuihin väitteisiin.

Todistus. Todistetaan esimerkin vuoksi kohta 1 ja jätetään loput kohdat harjoitustehtäväksi. Oletetaan kuten lauseessa, että \(\mathbf{v}\in\mathbf{R}^n\) ja \(\mathbf{w}\in\mathbf{R}^n\). Tällöin \(\mathbf{v}=(v_1,\ldots,v_n)\) ja \(\mathbf{w}=(w_1,\ldots,w_n)\) ja luvut \(v_1,\ldots,v_n\) ja \(w_1,\ldots,w_n\) ovat reaalilukuja. Koska reaalilukujen yhteenlasku on vaihdannainen, jokaisella \(i\in\{1,\ldots,n\}\) pätee \(v_i+w_i=w_i+v_i\). Nyt nähdään, että $$ \mathbf{v}+\mathbf{w} =(v_1+w_1,\ldots v_n+w_n) =(w_1+v_1,\ldots w_n+v_n) =\mathbf{w}+\mathbf{v}. $$ Väite on todistettu. \(\Box\).

Esimerkki. Oletetaan, että \(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\in\mathbf{R}^n\). Tutkitaan vektoria $$ \mathbf{z}=3(2\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w})-(\mathbf{u}+2\mathbf{v}+3\mathbf{w}) $$ ja sievennetään sitä vektorien laskusääntöjen avulla. Saadaan $$ \mathbf{z}=3(2\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w})-(\mathbf{u}+2\mathbf{v}+3\mathbf{w}) =6\mathbf{u}+3\mathbf{v}+3\mathbf{w}-\mathbf{u}-2\mathbf{v}-3\mathbf{w}=5\mathbf{u}+\mathbf{v}. $$

Tiivistelmä.

Edellinen: 1-1 | Seuraava: 1-3 | Menu: 3