Avaruuksissa \(\mathbb{R}^2\) ja \(\mathbb{R}^3\) on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei välttämättä onnistu pelkästään geometrisen intuition avulla. Kuitenkin esimerkiksi Pythagoraan lauseen voidaan ajatella toimivan kaikissa ulottuvuuksissa samalla tavalla. Kyseinen lause, samoin kuin muutkin vektoreiden pituuksiin ja kulmiin liittyvät käsitteet, voidaan ilmaista pistetulon avulla, ja pistetulo puolestaan voidaan laskea avaruudessa \(\mathbb{R}^n\), olipa \(n\) miten suuri tahansa.
Vektorien pistetulo on siis aina reaaliluku eli skalaari. Pistetuloa kutsutaankin myös
Vektorien kohtisuoruus määritellään pistetulon avulla.
Jos vektorit \(\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\) ja \(\mathbf{w}\in\mathbb{R}^n\) eivät ole toisiaan vastaan kohtisuorassa eli \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\neq 0\), niin jää kaksi vaihtoehtoa. Joko \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\gt 0\) tai \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\lt 0\).
Jos \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\gt 0\), niin vektorien \(\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\) ja \(\mathbf{w}\in\mathbb{R}^n\) välinen kulma on alle \(90^\circ\) ja ne osoittavat "suurimmaksi osaksi samaan suuntaan".
Jos \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\lt 0\), niin vektorien \(\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\) ja \(\mathbf{w}\in\mathbb{R}^n\) välinen kulma on yli \(90^\circ\) ja ne osoittavat "suurimmaksi osaksi eri suuntaan".
Tehtävä. Laske vektorien \((3,2)\), \((4,2)\) ja \((-4,6)\) väliset pistetulot. Tarkastelemalla pistetulon merkkiä, kuvaile vektorien suuntia.
Tehtävä. Tarkastellaan vektoria \((4,3)\). Anna jokin vektori, jonka kulma \(\theta\) vektorin \((4,3)\) kanssa toteuttaa (i) \(\theta=0^\circ\); (ii) \(\theta=180^\circ\); (iii) \(\theta=90^\circ\); (iv) \(0^\circ\lt \theta\lt 90^\circ\); (v) \(90^\circ\lt \theta\lt 180^\circ\).
Vektorien välinen kulma voidaan määritellä täsmällisesti pistetulon avulla. Ennen tätä, tutustutaan pistetulon ominaisuuksiin.
| 1. | \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=\mathbf{w}\cdot\mathbf{v}\); (vaihdannaisuus) | |
| 2. | \(\mathbf{v}\cdot(\mathbf{w}+\mathbf{u})=\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}+\mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}\); (osittelulaki) | |
| 3. | \((c\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}=c(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})\). (vakion siirto) |
Kohdan 2 osittelulaki pätee myös toisin päin, eli pätee $$ (\mathbf{v}+\mathbf{w})\cdot\mathbf{u}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}+\mathbf{w}\cdot\mathbf{u}. $$ Tämä seuraa kohdasta 1, jonka mukaan pistetulo on vaihdannainen. Voidaan laskea $$ (\mathbf{v}+\mathbf{w})\cdot\mathbf{u} \stackrel{1}{=}\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}+\mathbf{w}) \stackrel{2}{=}\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\mathbf{u}\cdot\mathbf{w} \stackrel{1}{=}\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}\mathbf{w}\cdot\mathbf{u}. $$
Samaan tapaan myös kohta 3 voidaan kääntää muotoon \(\mathbf{v}\cdot (c\mathbf{w})=c(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})\).
Tehtävä. Esitä lineaarikombinaatio $$ 112(-3,4)+81(6,3) $$ muodossa \((a,b)\).
Tehtävä. Laske pistetulo $$ (4,3)\cdot (112(-3,4)+81(6,3)). $$
Seuraava lause osoittaa, että vektorin pistetulo itsensä kanssa on aina epänegatiivinen. Ainoastaan nollavektorin pistetulo itsensä kanssa on nolla.
| 1. | \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\geq 0\); | |
| 2. | \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=0\), jos ja vain jos \(\mathbf{v}=\mathbf{0}\). |
1. Nähdään, että $$ \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2\geq 0+0+\cdots+0=0, $$ sillä reaaliluvun neliö on aina epänegatiivinen. Tämä todistaa väitteen.
"\(\Rightarrow\)". Oletetaan, että \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=0\). Tällöin \(v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2=0\). Koska jokainen yhteenlaskettava on epänegatiivinen, summa voi olla nolla, vain jos kaikki yhteenlaskettavat ovat nollia. Toisin sanoen \(v_i^2=0\) kaikilla \(i\in\{1,\ldots,n\}\). Tästä seuraa, että \(v_i=0\) kaikilla \(i\in\{1,\ldots,n\}\). Siten \(\mathbf{v}=(0,0,\ldots,0)=\mathbf{0}\).
"\(\Leftarrow\)". Oletetaan, että \(\mathbf{v}=\mathbf{0}\). Nyt \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=0^2+0^2+\ldots+0^2=0.\) Todistus on valmis \(\Box\).
Luonnollisen kannan vektoreiden pistetulot ovat yksinkertaisia.
Pistetulon avulla voidaan määritellä avaruuden \(\mathbb{R}^n\) vektorin normi eli pituus. Edellisen lauseen nojalla pätee \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\geq 0\), joten seuraavassa määritelmässä juurrettava on epänegatiivinen, kuten kuuluu olla.
Määritelmästä seuraa, että \(\lvert\mathbf{v}\rvert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\ldots+v_n^2}\), kun pistetulo lasketaan auki. Lisäksi \(\lvert\mathbf{v}\rvert^2=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\).
Tasossa normia voi havainnollistaa Pythagoraan lauseen avulla. Oheiseen kuvaan on piirretty vektori \(\mathbf{w})(-4,-3)\). Pythagoraan lausetta käyttäen sen pituudeksi saadaan $$ \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5. $$ Pituuden geometrinen tulkinta antaa siis saman tuloksen kuin normin määritelmä.
Vektorin \(\mathbf{w})(-4,-3)\) normi eli pituus on \(5\).
Seuraava lause ilmaisee normien avulla sen, että vektorin pituus on aina epänegatiivinen ja nollavektori on ainoa vektori, jonka pituus on nolla.
| 1. | \(\lVert\mathbf{v}\rVert\geq 0\); | |
| 2. | \(\lVert\mathbf{v}\rVert=0\), jos ja vain jos \(\mathbf{v}=\mathbf{0}\). |
1. Määritelmän mukaan \(\lVert\mathbf{v}\rVert=\sqrt{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\). Neliöjuuren arvo on aina epänegatiivinen, joten \(\lVert\mathbf{v}\rVert\geq 0\).
2. Huomataan, että \(\lVert\mathbf{v}\rVert=\sqrt{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}=0\), jos ja vain jos juurrettava \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\) on nolla. Edellisen lauseen mukaan taas \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=0\) pätee, jos ja vain jos \(\mathbf{v}=\mathbf{0}\). Tämä todistaa väitteen.
Todistus on valmis \(\Box\).
Skalaarikertolaskun määritelmän yhteydessä todettiin, että kun vektoria kerrotaan skalaarilla, vektorin suunta pysyy samana tai kääntyy vastakkaiseksi, mutta sen pituutta ”skaalataan”. Asian voi ilmaista myös normin avulla: kun vektoria kerrotaan skalaarilla, vektorin pituus tulee kerrotuksi tuolla samalla skalaarilla. On vain otettava huomioon, että pituus on aina epänegatiivinen, joten skalaarista pitää ottaa itseisarvo. Seuraava lause ilmaisee asian täsmällisesti, mutta sen todistaminen jätetään harjoitustehtäväksi.
Jos vain vektorin suunnalla on merkitystä, pyritään usein yksinkertaisuuden vuoksi rajoittumaan vektoreihin, joiden pituus on yksi. Tällaisia vektoreita kutsutaan yksikkövektoreiksi
Avaruuden \(\mathbf{R}^n\) vektorit \((1,0)\) ja \((0,1)\) ovat yksikkövektoreita, sillä niiden pituus on yksi. Yleisemmin kaikki luonnollisen kannan vektorit \(\mathbf{e}_i\in\mathbf{R}^n\) ovat yksikkövektoreita. On kuitenkin olemassa paljon muitakin yksikkövektoreita, kuten seuraava esimerkki osoittaa.
Edellistä esimerkkiä mukaillen saadaan seuraava yleinen tulos.
Todistus on valmis \(\Box\).
Pistetulon avulla voidaan määritellä vektorin pituuden lisäksi vektorien välinen kulma. Tarkastellaan aluksi yksinkertaisinta eli suoraa kulmaa.
Edellä nähtiin suoran kulman määritelmä.
Pistetulon avulla voi määrittää vektorien välisen kulman myös yleisemmin kuin suoran kulman tapauksessa.
Vektorien välinen kulma antaa pistetulolle geometrisen merkityksen. Määritelmän mukaan vektorien \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) pistetulolle pätee $$ \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=\lVert\mathbf{v}\rVert\lVert\mathbf{w}\rVert\cos\alpha, $$ missä \(\alpha\) on vektorien välinen kulma. Tarkastellaan erilaisia tapauksia.
| (i) | Pätee \(0\leq\alpha<\pi/2\). Tällöin \(\cos\alpha\gt 0\), joten vektorien pistetulo on positiivinen. Mitä pienempi kulma \(\alpha\) on, sitä suurempi on kosini ja sitä kautta pistetulo. | |
| (ii) | Pätee \(\alpha=\pi/2\). Tällöin \(\cos\alpha= 0\), joten vektorien pistetulo on nolla ja vektorit ovat kohtisuorassa. | |
| (iii) | Pätee \(\pi/2\lt\alpha\leq 0\). Tällöin \(\cos\alpha\lt 0\), joten vektorien pistetulo on negatiivinen. |
Koska kaikilla kulman \(\alpha\) arvoilla pätee \(-1\leq\cos\alpha\leq 1\), niin vektorien kulman määritelmän yhtälö $$ \cos\alpha=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}{\lVert\mathbf{v}\rVert\lVert\mathbf{w}\rVert}. $$ voi päteä vain jos $$ -1\leq \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}{\lVert\mathbf{v}\rVert\lVert\cdot\mathbf{w}\rVert} \leq 1 $$ eli jos $$ |\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}|\leq \lVert\mathbf{v}\rVert\lVert\mathbf{w}\rVert. $$ Tämä on aina totta, kuten seuraava lause kertoo.
Todistetaan tapaus \(\mathbf{v}\in\mathbb{R}^2\) ja \(\mathbf{w}\in\mathbb{R}^2\).
Väite on yhtäpitävä väitteen $$ (\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})^2\leq \lVert\mathbf{v}\rVert^2\lVert\mathbf{w}\rVert^2. $$ kanssa.
Olkoon \(\mathbf{v}=(a,b)\) ja \(\mathbf{w}=(c,d)\). Nyt $$ \lVert\mathbf{v}\rVert^2\lVert\mathbf{w}\rVert^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2 $$ Toisaalta $$ (\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})^2=(ac+bd)^2=(ac)^2+2acbd+(bd)^2=(ac)^2+2(ad)(bc)+(bd)^2. $$ Riittää osoittaa, että \begin{equation} 2(ad)(bc)\leq (ad)^2+(bc)^2. \tag{$(*)$} \end{equation} Tämä on yhtäpitävää epäyhtälön $$ 0\leq (ad)^2-2(ad)(bc)+(bc)^2=((ad)-(bc))^2 $$ kanssa, eli siis totta.
Yleisen tilanteen, missä \(\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\) ja \(\mathbf{w}\in\mathbb{R}^n\) jollakin \(n\geq 3\), todistus onnistuu vastaavasti. Epäyhtälöä (*) vastaavia epäyhtälöitä tulee \(\frac{n(n-1)}{2}\) kappaletta.
\(\Box\).Tehtävä. Todista, että vektoreille \(\mathbf{v}=(a,b,c)\) ja \(\mathbf{w}=(d,e,f)\) pätee $$ |\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}|\leq \lVert\mathbf{v}\rVert\lVert\mathbf{w}\rVert. $$
Vektorien välinen kulma on nyt määritelty avaruuksissa \(\mathbb{R}^n\), kaikilla \(n=1,2,\ldots\).
Tasogeometriasta tuttu kosinilause voidaan nyt todistaa laskemalla.
Voidaan todistaa myös seuraava tärkeä tulos.
Jos vektorien \(\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\) ja \(\mathbf{w}\in\mathbb{R}^n\) välinen kulma on \(\gamma\), niin edellisessä todistuksessa oltaisiin voitu käyttää tietoa \(\cos\gamma\leq 1\) ja kirjoittaa vaihtoehtoinen arvio $$ 2\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=2\lVert\mathbf{v}\rVert\lVert\mathbf{w}\rVert\cos\gamma\leq 2\lVert\mathbf{v}\rVert\lVert\mathbf{w}\rVert. $$
Jos kosinilauseessa vektorit \(\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\) ja \(\mathbf{w}\in\mathbb{R}^n\) ovat kohtisuorassa, niin \(\gamma=\frac{\pi}{2}\) ja saadaan yhtäsuuruus $$ \lVert\mathbf{v}-\mathbf{w}\rVert^2 =\lVert\mathbf{v}\rVert^2+\lVert\mathbf{w}\rVert^2. $$ Lisäksi \(\mathbf{v}\perp\mathbf{w}\), jos ja vain jos \(\mathbf{v}\perp(-\mathbf{w})\). Siis edellisessä kaavassa voidaan vaihtaa vektorin \(\mathbf{w}\) paikalle vektori \(-\mathbf{w}\) ja saadaan $$ \lVert\mathbf{v}+\mathbf{w}\rVert^2 =\lVert\mathbf{v}\rVert^2+\lVert\mathbf{w}\rVert^2. $$ Tämä on koulusta tuttu Pythagoraan lause.
Kun vektorit \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) tulkitaan tason pisteiksi, niiden välinen etäisyys voidaan määritellä niitä yhdistävän suuntajanan \(\mathbf{v}-\mathbf{w}\) pituutena. Tämä taas palautuu vektorin normiin.
Nähdään, että vektorien välisellä etäisyydellä on tiettyjä ominaisuuksia.
| (i) | \(d(\mathbf{u},\mathbf{v})\geq 0\); | |
| (ii) | \(d(\mathbf{u},\mathbf{v})= 0\), jos ja vain jos \(\mathbf{u}=\mathbf{v}\); | |
| (iii) | \(d(\mathbf{u},\mathbf{v})=d(\mathbf{v},\mathbf{u})\); | |
| (iii) | \(d(\mathbf{u},\mathbf{v})\leq d(\mathbf{u},\mathbf{w})+d(\mathbf{w},\mathbf{v})\). |
Todistetaan kohta (iv). Muut kohdat jätetään harjoitustehtäväksi. Normin kolmioepäyhtälön mukaan kaikille vektoreille \(\mathbf{a}\) ja \(\mathbf{b}\) pätee $$ \lVert\mathbf{a}+\mathbf{b}\rVert\leq \lVert\mathbf{a}\rVert+\lVert\mathbf{b}\rVert. $$ Siis $$ d(\mathbf{u},\mathbf{v})=\lVert\mathbf{u}-\mathbf{v}\rVert =\lVert(\mathbf{u}-\mathbf{w})+(\mathbf{w}-\mathbf{v})\rVert \leq \lVert(\mathbf{u}-\mathbf{w})\rVert+\lVert(\mathbf{w}-\mathbf{v})\rVert =d(\mathbf{u},\mathbf{w})+d(\mathbf{w},\mathbf{v}). $$
\(\Box\).Vektoreiden \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) välinen etäisyys. Ensimmäisessä kuvassa vektorit on havainnollistettu tason pisteinä, jälkimmäisessä kuvassa origosta lähtevinä nuolina.