1.4. Projektio suoralle

Vektoriprojektion voi ajatella vektorin varjoksi toisen vektorin määrittämälle suoralle.

Olkoon annettuna vektorit $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\mathbf{0}\}$. Voidaan kirjoittaa $$ \mathbf{u}=a\mathbf{v}+(\mathbf{u}-a\mathbf{v}), $$ missä $a\in\mathbb{R}$ on jokin vakio. Valitsemalla vakio $a$ sopivasti, jälkimmäinen vektori on kohtisuorassa vektoria $\mathbf{v}$ vastaan. Tällöin pätee $$ 0=\mathbf{v}\cdot (\mathbf{u}-a\mathbf{v})=\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}-a\lVert\mathbf{v}\rVert^2, $$ mistä luvuksi $a$ saadaan $$ a=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert^2}. $$ Saadaan esitys $$ \mathbf{u}=a\mathbf{v}+(\mathbf{u}-a\mathbf{v}) =\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert^2}\mathbf{v}+\left(\mathbf{u}-\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert^2}\mathbf{v}\right) =\mathbf{u}_{\mathbf{v}}+\mathbf{u}_{\perp\mathbf{v}}. $$

Määritelmä. Olkoon annettuna vektorit $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\mathbf{0}\}$.

Vektori $$ \mathbf{u}_{\mathbf{v}}=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert^2}\mathbf{v} $$ on vektorin $\mathbf{u}$ projektio vektorin $\mathbf{v}$ virittämälle suoralle.

Vektori $$ \mathbf{u}_{\perp\mathbf{v}}=\mathbf{u}-\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert^2}\mathbf{v} $$ on vektorin $\mathbf{u}$ vektoria $\mathbf{v}$ vastaan kohtisuora komponentti.

Kohtisuoruusominaisuus voidaan varmistaa laskemalla.

Tehtävä. Laske pistetulo $$ \mathbf{v}\cdot\left(\mathbf{u}-\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert^2}\mathbf{v}\right) $$

Projektioiden laskeminen on suoraviivaista.

Esimerkki. Esimerkiksi vektorin $\mathbf{v}=(1,2)$ projektio vektorin $\mathbf{w}=(−1,3)$ virittämälle suoralle on $$ \mathbf{v}_{\mathbf{w}}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}{\mathbf{w}\cdot\mathbf{w}}\mathbf{w} =\frac{5}{10}\mathbf{w}=\frac{1}{2}(-1,3)=\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right). $$ Toisaalta vektorin $\mathbf{u}=(-2,-2)$ projektio vektorin $\mathbf{w}=(−1,3)$ virittämälle suoralle on $$ \mathbf{u}_{\mathbf{w}}=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}}{\mathbf{w}\cdot\mathbf{w}}\mathbf{w} =\frac{-4}{10}\mathbf{w}=-\frac{2}{5}(-1,3)=\left(\frac{2}{5},-\frac{6}{5}\right). $$ Projektiot on esitetty oheisessa kuvassa.

Sekä $\mathbf{u}_{\mathbf{v}}$ että $\mathbf{u}_{\perp\mathbf{v}}$ ovat todella hyödyllisiä. Osoittautuu, että näitä vektoreita tarvitaan muun muassa etäisyyksiä laskettaessa.

Sisennettyjen elementtien väliin johdatteleva tekstikappale.

Esimerkki.

Kalle alkaa vaihtamaan autonrenkaita. Kalle asettaa pyöränmutteriavaimen ruostuneeseen mutteriin, jolloin varsi osoittaa vektorin $\mathbf{a}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ suuntaan. Kalle (paino 70 kg) nousee seisomaan varren päähän. Kuinka suuri momentti mutteriin kohdistuu?

Ratkaisu.

Sähkökenttä osoittaa vektorin $$ \mathbf{a}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j} $$ suuntaan. Hiukkanen (varaus $q=...$ ) siirretään pisteestä $(1,1)$ pisteeseen $(2,0)$. Kuinka suuri työ tehdään?

Ratkaisu.

Vektorien $\mathbf{u}_{\mathbf{v}}$ ja $\mathbf{u}_{\perp\mathbf{v}}$ pituudet voidaan lausua, jos vektorien $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ välinen kulma tiedetään.

Lause. Olkoon annettuna vektorit $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\mathbf{0}\}$ ja olkoon $\alpha$ niiden välinen kulma. Tällöin

(i)		$\lVert\mathbf{u}\rVert^2=\lVert\mathbf{u}_{\mathbf{v}}\rVert^2+\lVert\mathbf{u}_{\perp\mathbf{v}}\rVert^2$;
(ii)		$\lVert\mathbf{u}_{\mathbf{v}}\rVert=\|\cos\alpha\|\lVert \mathbf{u}\rVert$;
(iii)		$\lVert\mathbf{u}_{\perp\mathbf{v}}\rVert=\|\sin\alpha\|\lVert \mathbf{u}\rVert$;

Todistus.

(i) Koska esityksessä $$ \mathbf{u}=\mathbf{u}_{\mathbf{v}}+\mathbf{u}_{\perp\mathbf{v}} $$ vektorit $\mathbf{u}_{\mathbf{v}}$ ja $\mathbf{u}_{\perp\mathbf{v}}$ ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, niin Pythagoraan lauseen nojalla $$ \lVert\mathbf{u}\rVert^2=\lVert\mathbf{u}_{\mathbf{v}}\rVert^2+\lVert\mathbf{u}_{\perp\mathbf{v}}\rVert^2. $$

(ii) Muistetaan, että pistetulolle pätee $$ \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\cos\alpha\lVert\mathbf{u}\rVert\lVert\mathbf{v}\rVert $$ Käyttämällä tätä tietoa projektion esitykseen saadaan $$ \mathbf{u}_{\mathbf{v}} =\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert^2}\mathbf{v} =\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert}\frac{\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert} =\frac{\cos\alpha\lVert\mathbf{u}\rVert\lVert\mathbf{v}\rVert}{\lVert\mathbf{v}\rVert}\frac{\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert} =(\cos\alpha \lVert\mathbf{u}\rVert)\frac{\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert}. $$ Tässä $\frac{\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert}$ on yksikkövektori. Saadaan siis $$ \lVert\mathbf{u}_{\mathbf{v}}\rVert=|\cos\alpha|\lVert \mathbf{u}\rVert. $$

(iii) Harjoitustehtävä. Seuraa kohdista (i) ja (ii).$\Box$

Lauseen kohta (iii) perustuu siihen, että $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$.

Tehtävä. Todista edellisen lauseen kohta (iii).
Vihje. Tarkastele lukua $\lVert\mathbf{u}_{\perp\mathbf{v}}\rVert^2$.

Tiivistelmä.

Kun vektori $\mathbf{u}$ projisoidaan vektorin $\mathbf{v}$ virittämälle suoralle, on tuloksena vektorin $\mathbf{v}$ kanssa yhdensuuntainen vektori, jota merkitään $\mathbf{u}_{\mathbf{v}}$.
Jos vektorista $\mathbf{u}$ vähennetään projektio $\mathbf{u}_{\mathbf{v}}$, niin jäljelle jää vektori $\mathbf{u}_{\perp\mathbf{v}}$, joka on kohtisuorassa vektoria $\mathbf{v}$ vastaan.

(i)		\(\lVert\mathbf{u}\rVert^2=\lVert\mathbf{u}_{\mathbf{v}}\rVert^2+\lVert\mathbf{u}_{\perp\mathbf{v}}\rVert^2\);
(ii)		\(\lVert\mathbf{u}_{\mathbf{v}}\rVert=\|\cos\alpha\|\lVert \mathbf{u}\rVert\);
(iii)		\(\lVert\mathbf{u}_{\perp\mathbf{v}}\rVert=\|\sin\alpha\|\lVert \mathbf{u}\rVert\);

Kurssi

1.4. Projektio suoralle