1.5. Ristitulo

Avaruuden $\mathbb{R}^3$ vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden $\mathbb{R}^3$ vektori. Ristitulosta on hyötyä esimerkiksi silloin, kun tarvitaan vektori, joka on kohtisuorassa jotakin tasoa vastaan.

Ristitulo poikkeaa kurssilla tähän mennessä määritellyistä käsitteistä siinä, että sen määritelmää ei voida yleistää kaikkiin avaruuksiin $\mathbb{R}^n$. Ristitulo on vain avaruuden $\mathbb{R}^3$ laskutoimitus.

Määritelmä. Vektorien $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3$ ristitulo on se vektori $\mathbf{w}\in\mathbb{R}^3$, jolle pätee

(i)		$\mathbf{w}\perp\mathbf{u}$ ja $\mathbf{w}\perp\mathbf{v}$;
(ii)		$\lVert\mathbf{w}\rVert=\lVert\mathbf{u}\rVert\lVert\mathbf{v}\rVert\sin\alpha$, missä $\alpha$ on vektorien $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ välinen kulma ;
(iii)		kolmikko $(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w})$ on positiivisesti suunnistettu eli oikean käden systeemi.

Tätä vektoria merkitään $\mathbf{w}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}$.

Määritelmän ehdon (i) perusteella $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$ on siis kohtisuorassa sekä vektoria $\mathbf{u}$ että vektoria $\mathbf{v}$ vastaan.

Määritelmän ehto (ii) vastaa pistetuloa koskevaa kaavaa $|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|=\lVert\mathbf{u}\rVert\lVert\mathbf{v}\rVert\cos\alpha$

Määritelmän ehtoa (iii) voi havainnollistaa ajattelemalla, että

$\mathbf{u}$ on oikean käden peukalo;
$\mathbf{v}$ on oikean käden etusormi;
$\mathbf{u}\times\mathbf{v}$ on oikean käden keskisormi.

Osoittautuu, että ristitulovektori voidaan laskea seuraavalla tavalla.

Lause. Vektorien $\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)\in\mathbb{R}^3$ ja $\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)\in\mathbb{R}^3$ ristitulo voidaan laskea kaavalla $$ \mathbf{u}\times\mathbf{v}=(v_2w_3−v_3w_2, v_3w_1−v_1w_3, v_1w_2−v_2w_1) $$

Lauseen kaava on ensinäkemältä hieman monimutkainen. Kuitenkin siinä on myös tiettyjä säännönmukaisuuksia. Yksikkövektorien $\mathbf{e}_1=\mathbf{i}$, $\mathbf{e}_2=\mathbf{j}$ ja $\mathbf{e}_3=\mathbf{k}$ avulla kaavan voi kirjoittaa muodossa $$ \mathbf{u}\times\mathbf{v} =\underbrace{\mathbf{e}_1}_{\textrm{alaindeksi }1}(\underbrace{v_2w_3−v_3w_2}_{\textrm{ei alaindeksiä }1}) +\mathbf{e}_2(v_3w_1−v_1w_3) +\mathbf{e}_3(v_1w_2−v_2w_1). $$ Lisäksi sulkulausekkeet ovat muotoa $v_aw_b-v_bw_a$. Lisäksi poimimalla merkkijonosta $123123$ kolme peräkkäistä lukua (esimerkiksi "$312$") saadaan jokin positiivisena esiintyvä lauseke (esimerkiksi $\mathbf{e}_3v_1w_2$).

Vektoriprojektion yhteydessä todettiin, että jos $\mathbf{u}\in\mathbb{R}^3$ ja $\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$, niin vektori $\mathbf{u}$ voidaan jakaa vektorin $\mathbf{v}$ suuntaiseen ja vektoria $\mathbf{v}$ vastaan kohtisuoraan komponenttiin $$ \mathbf{u}=\mathbf{u}_{\mathbf{v}}+\mathbf{u}_{\perp\mathbf{v}}. $$ Kohtisuoran komponentin pituudelle saatiin kaava $$ \lVert\mathbf{u}_{\perp\mathbf{v}}\rVert=\lVert\mathbf{u}\rVert\lVert\mathbf{v}\rVert\sin\alpha, $$ missä $\alpha$ on vektorien $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ välinen kulma. Nähdään, että tämä luku on ristitulon määritelmän kohdassa (ii) esiintyvä luku. Siis $$ \lVert\mathbf{u}_{\perp\mathbf{v}}\rVert=\lVert\mathbf{u}\rVert\lVert\mathbf{v}\rVert\sin\alpha =\lVert\mathbf{u}\times\mathbf{v}\rVert. $$

Lause. Olkoot $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3$. Vektoria $\mathbf{v}$ vastaan kohtisuoran vektorin $\mathbf{u}$ komponentin pituus on $\lVert\mathbf{u}\times\mathbf{v}\rVert$.

Kohtisuoralle komponentille on paljon hyötykäyttöä etäisyyksien laskemisessa.

Esimerkki. Tarkastellaan pisteen $\mathbf{q}=(1,2,3)$ etäisyyttä avaruuden suorasta $$ \mathbf{p}(t)=\mathbf{p}_0+t\mathbf{v}=(1,1,1)+t(1,-1,0),\quad t\in\mathbb{R}. $$ Pisteestä $\mathbf{q}$ pääsee suoralle liikkumalla vektorin $$ \mathbf{u}=\mathbf{p}_0-\mathbf{q}=(1,1,1)-(1,2,3)=(0,-1,-2) $$ verran. Pisteestä $\mathbf{q}$ pääsee kohtisuorasti suoralle liikkumalla vektorin $\mathbf{u}_{\mathbf{v}}$ verran. Tämän siirtymän pituus on edellisen lauseen nojalla $$ \lVert\mathbf{u}_{\mathbf{v}}\rVert=\lVert\mathbf{u}\times\mathbf{v}\rVert. $$ Nyt $$ \mathbf{u}\times\mathbf{v}=(0,-1,-2)\times(1,-1,0)=(-2,-2,1) $$ ja siis $$ \lVert\mathbf{u}\times\mathbf{v}\rVert=\lVert(-2,-2,1)\rVert=\sqrt{4+4+1}=3. $$ Siis etsitty etäisyys on $3$.

Todetaan esimerkissä johdettu tulos lauseena.

Lause. Avaruudessa $\mathbb{R}^3$ pisteen $\mathbf{q}$ etäisyys suorasta $\mathbf{p}_0+t\mathbf{v}$, $t\in\mathbb{R}$, on $\lVert(\mathbf{p}_0-\mathbf{q})\times\mathbf{v}\rVert$.

Ristitulolla on seuraavat ominaisuudet.

Lause. (Ristitulon ominaisuuksia) Olkoot $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3$ vektoreita ja $t\in\mathbb{R}$ skalaari. Tällöin pätee

(i)		$\mathbf{0}\times\mathbf{u}=\mathbf{0}$;
(ii)		$\mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf{0}$;
(iii)		$t(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=(t\mathbf{u})\times\mathbf{v}=\mathbf{u}\times(t\mathbf{v})$ (vakion siirto).

Mainitut tulokset on helppo todistaa kaavan $\lVert\mathbf{u}\times\mathbf{v}\rVert=\lVert\mathbf{u}\rVert\lVert\mathbf{v}\rVert\sin\alpha$ avulla.

Tehtävä. Todista edellisen lauseen kohdat (i)-(iii).

Ristitulolla on myös seuraavat ominaisuudet.

Lause. (Ristitulon ominaisuuksia) Olkoot $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^3$ vektoreita ja $t\in\mathbb{R}$ skalaari. Tällöin pätee

(i)		$\mathbf{u}\times\mathbf{v}=-(\mathbf{v}\times\mathbf{u})$ (antivaihdannaisuus) ;
(ii)		$\mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u}\times\mathbf{v}+\mathbf{u}\times\mathbf{w}$ (osittelulaki vasemmalta);
(iii)		$\mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\mathbf{v}-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w}$ (Lagrangen kolmitulokaava);
(iv)		$(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w} =(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\cdot\mathbf{u} =(\mathbf{w}\times\mathbf{u})\cdot\mathbf{v} $ (suuntaissärmiön tilavuus).

Todistus.Kohta (i) seuraa ristitulon määritelmästä. Kohdan (ii) todistus on harjoitustehtävä. Kohtien (iii) ja (iv) todistukset löytyvät videolta. (Täytyy lisätä.)$\Box$.

Sisennettyjen elementtien väliin johdatteleva tekstikappale. Alla oleva esimerkki sisältää piilotetun ratkaisun.

Tehtävä. Olkoot Olkoot $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^3$. Lagrangen kolmitulokaavaa käyttämällä todista, että $$ \mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})+ \mathbf{v}\times(\mathbf{w}\times\mathbf{u})+ \mathbf{w}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=\mathbf{0}. $$ Tulos tunnetaan nimellä Jacobin identiteetti.

Antivaihdannaisuuden nojalla saadaan helppo seuraus.

Korollaari. Olkoot $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^3$. Tällöin pätee myös

(i)		$(\mathbf{u}+\mathbf{v})\times\mathbf{w}=\mathbf{u}\times\mathbf{w}+\mathbf{v}\times\mathbf{w}$ (osittelulaki oikealta);
(ii)		$(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\times\mathbf{w}=(\mathbf{w}\cdot\mathbf{u})\mathbf{v}-(\mathbf{w}\cdot\mathbf{v})\mathbf{u}$ (Lagrangen kolmitulokaava).

Todistus. Antivaihdannaisuuden $\mathbf{u}\times\mathbf{v}=-(\mathbf{u}\times\mathbf{v})$ nojalla väitteiden ristitulot voidaan kääntää toisin päin, kunhan muistetaan vaihtaa merkki. Tämän jälkeen väitteet seuraavat helposti aiemmasta lauseesta.$\Box$.

(i)		\(\mathbf{w}\perp\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{w}\perp\mathbf{v}\);
(ii)		\(\lVert\mathbf{w}\rVert=\lVert\mathbf{u}\rVert\lVert\mathbf{v}\rVert\sin\alpha\), missä \(\alpha\) on vektorien \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) välinen kulma ;
(iii)		kolmikko \((\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w})\) on positiivisesti suunnistettu eli oikean käden systeemi.

(i)		\(\mathbf{0}\times\mathbf{u}=\mathbf{0}\);
(ii)		\(\mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf{0}\);
(iii)		\(t(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=(t\mathbf{u})\times\mathbf{v}=\mathbf{u}\times(t\mathbf{v})\) (vakion siirto).

(i)		\(\mathbf{u}\times\mathbf{v}=-(\mathbf{v}\times\mathbf{u})\) (antivaihdannaisuus) ;
(ii)		\(\mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u}\times\mathbf{v}+\mathbf{u}\times\mathbf{w}\) (osittelulaki vasemmalta);
(iii)		\(\mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\mathbf{v}-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w}\) (Lagrangen kolmitulokaava);
(iv)		\((\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w} =(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\cdot\mathbf{u} =(\mathbf{w}\times\mathbf{u})\cdot\mathbf{v} \) (suuntaissärmiön tilavuus).

(i)		\((\mathbf{u}+\mathbf{v})\times\mathbf{w}=\mathbf{u}\times\mathbf{w}+\mathbf{v}\times\mathbf{w}\) (osittelulaki oikealta);
(ii)		\((\mathbf{u}\times\mathbf{v})\times\mathbf{w}=(\mathbf{w}\cdot\mathbf{u})\mathbf{v}-(\mathbf{w}\cdot\mathbf{v})\mathbf{u}\) (Lagrangen kolmitulokaava).

Kurssi

1.5. Ristitulo