| (a) | \([U]\) on avaruuden \(V\) aliavaruus; | |
| (b) | jos \(U\subset W\subset V\) ja \(W\) on aliavaruus, niin \([U]\subset W\). |
Todistus. (Lause 10.4.1)(a) Selvästi $$ \emptyset\neq U\subset [U]\subset V. $$ Olkoot \(\gamma\in\mathcal{K}\) ja \(u,v\in[U]\) mielivaltaisia. Tällöin \(u\) ja \(v\) voidaan esittää joukon \(U\) lineaarikombinaatioina $$ u=\alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_k u_k,\quad v=\beta_1 v_1+\cdots+\beta_k v_k, $$ missä \(\alpha_j,\beta_j\in\mathcal{K}\) ja \(u_j,v_j\in V\). Tällöin $$ u+v= \alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_k u_k+\beta_1 v_1+\cdots+\beta_k v_k\in [U]. $$ Täten \(u+v\) on esitettävissä joukon \(U\) alkioiden lineaarikombinaationa.
Samalla tavalla päätellään $$ \gamma u=(\gamma\alpha_1) u_1+\cdots+(\gamma\alpha_k) u_k \in [U]. $$ On todistettu, että \([U]\) on aliavaruus.
(b) Olkoon \(W\) aliavaruus, jolle \(U\subset W\). Osoitetaan, että \([U]\subset W\). Olkoon \(u\in [U]\) mielivaltainen. Tällöin sillä on esitys $$ u=\alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_k u_k, $$ missä \(\alpha_i\in\mathbb{K}\) ja \(u_i\in U\). Koska \(U\subset W\) ja \(W\) on aliavaruus, niin lineaarikombinaationa \(u\in W\). Näin ollen \([U]\subset W\), eli \([U]\) on suppein aliavaruus, joka sisältää joukon \(U\) alkiot.\(\Box\)