Todistus. (Lause 11.5.1) Oletetaan, että \(U\) on lineaarisesti riippumaton. Jos alkiolla \(v\in[U]\) on lineaarikombinaatioesitykset $$ v=a_1u_1+\cdots+a_ku_k,\quad v=b_1u_1+\cdots+b_ku_k, $$ niin vähentämällä yhtälöt puolittain saadaan $$ 0=(a_1-b_1)u_1+\cdots+(a_k-b_k)u_k. $$ Koska \(U\) on lineaarisesti riippumaton, niin \(a_i=b_i\) kaikilla \(i=1,\ldots,k\). Näin ollen lineaarikombinaatioesitys on yksikäsitteinen.
Oletetaan, että vektori \(v\in [U]\) voidaan esittää joukon \(U\) alkioiden lineaarikombinaationa vain yhdellä tavalla $$ v=a_1u_1+\cdots+a_ku_k, $$ ja oletetaan vastoin väitettä, että \(U\) on lineaarisesti riippuva. Tällöin on olemassa skalaarit \(c_1,\ldots,c_k\in\mathcal{K}\), joista ainakin yksi \(c_j\) on nollasta poikkeava, ja joille $$ 0=c_1u_1+\cdots+c_ju_j+\cdots c_ku_k. $$ Laskemalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan $$ v=v+0=(a_1+c_1)u_1+\cdots+(a_j+c_j)u_j+\cdots+(a_k+c_k)u_k. $$ Koska \(c_j\neq 0\), niin \(a_j+c_j\neq a_j\). Siis saatiin vektorille \(v\) erilainen lineaarikombinaatioesitys. Tämä on ristiriita, ja näin ollen \(U\) on lineaarisesti riippumaton. \(\Box\)