Kurssi

11.7. Analyyttistä geometriaa - tason yhtälö



Tarkastellaan ei-yhdensuuntaisten vektorien \(\bar{u},\bar{v}\in\mathbb{R}^3\) ja pisteen \(\bar{a}\in\mathbb{R}^3\) määräämää tasoa \(T\), joka koostuu pisteistä $$ \bar{x}=\bar{a}+s\bar{u}+t\bar{v},\quad s,t\in\mathbb{R}. $$ Tässä luvut \(s,t\in\mathbb{R}\) ovat parametreja ja saatu esitys on parametrimuodossa.

Nyt \(\bar{x}\in T\) jos ja vain jos $$ \bar{x}-\bar{a}=s\bar{u}+t\bar{v} $$ eli \(\bar{x}-\bar{a}\) kuuluu vektorien \(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\) virittämään aliavaruuteen \(W=[\bar{u},\bar{v}]\). Tällöin vektorijoukko \(\{\bar{x}-\bar{a}, \bar{u},\bar{v}\}\) on lineaarisesti riippuva. Siis sarakkeittain muodostetulle matriisille pätee $$ \begin{vmatrix} x_1-a_1 & u_1 & v_1\\ x_2-a_2 & u_2 & v_2\\ x_3-a_3 & u_3 & v_3\\ \end{vmatrix} =0. $$ Kokoa \(3\times 3\) olevien determinanttien merkkikaavio on $$ \begin{pmatrix} + & - & +\\ - & + & -\\ + & - & +\\ \end{pmatrix}. $$ Kehittämällä determinantti ensimmäisen sarakkeen suhteen saadaan $$ (x_1-a_1)\begin{vmatrix} u_2 & v_2\\ u_3 & v_3\\ \end{vmatrix} -(x_2-a_2)\begin{vmatrix} u_1 & v_1\\ u_3 & v_3\\ \end{vmatrix} +(x_3-a_3) \begin{vmatrix} u_1 & v_1\\ u_2 & v_2\\ \end{vmatrix} =0. $$ Jos determinantissa vaihdetaan kahden rivin paikkaa, niin determinantin merkki muuttuu. Siis vaihtamalla keskimmäisessä determinantissa rivien järjestys miinusmerkki kumoutuu ja saadaan $$ (x_1-a_1)\begin{vmatrix} u_2 & v_2\\ u_3 & v_3\\ \end{vmatrix} +(x_2-a_2)\begin{vmatrix} u_3 & v_3\\ u_1 & v_1\\ \end{vmatrix} +(x_3-a_3) \begin{vmatrix} u_1 & v_1\\ u_2 & v_2\\ \end{vmatrix} =0. $$ Merkitään determinantteja $$ D_1=\begin{vmatrix} u_2 & v_2\\ u_3 & v_3\\ \end{vmatrix},\quad D_2=\begin{vmatrix} u_1 & v_1\\ u_3 & v_3\\ \end{vmatrix},\quad D_3=\begin{vmatrix} u_1 & v_1\\ u_2 & v_2\\ \end{vmatrix}, $$ jolloin yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $$ D_1(x_1-a_1) +D_2(x_2-a_2) +D_3(x_3-a_3) =0. $$ Tästä saadaan tasolle \(T\) parametriton koordinaattiyhtälö $$ A_1x_1+A_2x_2+A_3x_3+C=0, $$ missä \(A_1,A_2,A_3,C\in\mathbb{R}\). Koordinaattimuodossa oleva tason yhtälö saadaan parametrimuotoon valitsemalla kaksi muuttujaa parametriksi ja valitsemalla kolmas näiden avulla.

Huomautus. Jos vektorit \(\bar{u}=(u_1,u_2,u_3)^T\) ja \(\bar{v}=(v_1,v_2,v_3)^T\) eivät ole yhdensuuntaisia, niin kaikki determinantit \(D_1,D_2,D_3\) eivät voi olla yhtäaikaa nollia eli yhtälö ei surkastu muotoon \(0=0\). Perustellaan tämä väite.

Koska vektorit \(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\) eivät ole yhdensuuntaisia, niin kumpikaan niistä ei ole nollavektori. Näin ollen molemmilla vektoreilla \(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\) on vähintään yksi nollasta poikkeava koordinaatti. Oletetaan, että \(u_1\neq 0\) ja \(v_1\neq 0\). Muut tapaukset todistetaan vastaavasti.

Vastaoletus. Kaikki determinantit \(D_1\), \(D_2\) ja \(D_3\) ovat nollia. Siis $$ u_1v_3=u_3v_2,\quad u_2v_1=u_1v_3,\quad u_1v_2=u_2v_1. $$ Merkitään \(\alpha=\frac{v_1}{u_1}\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Nyt \(v_1=\alpha u_1\). Keskimmäisen yhtälön nojalla \(v_3=\alpha u_3\) ja viimeisen yhtälön nojalla \(v_2=\alpha u_2\). Tällöin \(\bar{v}=\alpha\bar{u}\), mikä on ristiriita oletuksen ''\(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\) eivät ole yhdensuuntaisia'' kanssa.



Edellinen: 11-5-1-lause | Seuraava: 12-3-1-lause | Menu: 3