Tarkastellaan ei-yhdensuuntaisten vektorien \(\bar{u},\bar{v}\in\mathbb{R}^3\) ja pisteen \(\bar{a}\in\mathbb{R}^3\) määräämää tasoa \(T\), joka koostuu pisteistä
$$
\bar{x}=\bar{a}+s\bar{u}+t\bar{v},\quad s,t\in\mathbb{R}.
$$
Tässä luvut \(s,t\in\mathbb{R}\) ovat
Nyt \(\bar{x}\in T\) jos ja vain jos
$$
\bar{x}-\bar{a}=s\bar{u}+t\bar{v}
$$
eli \(\bar{x}-\bar{a}\) kuuluu vektorien \(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\) virittämään aliavaruuteen \(W=[\bar{u},\bar{v}]\). Tällöin vektorijoukko \(\{\bar{x}-\bar{a}, \bar{u},\bar{v}\}\) on lineaarisesti riippuva. Siis sarakkeittain muodostetulle matriisille pätee
$$
\begin{vmatrix}
x_1-a_1 & u_1 & v_1\\
x_2-a_2 & u_2 & v_2\\
x_3-a_3 & u_3 & v_3\\
\end{vmatrix}
=0.
$$
Kokoa \(3\times 3\) olevien determinanttien merkkikaavio on
$$
\begin{pmatrix}
+ & - & +\\
- & + & -\\
+ & - & +\\
\end{pmatrix}.
$$
Kehittämällä determinantti ensimmäisen sarakkeen suhteen saadaan
$$
(x_1-a_1)\begin{vmatrix}
u_2 & v_2\\
u_3 & v_3\\
\end{vmatrix}
-(x_2-a_2)\begin{vmatrix}
u_1 & v_1\\
u_3 & v_3\\
\end{vmatrix}
+(x_3-a_3)
\begin{vmatrix}
u_1 & v_1\\
u_2 & v_2\\
\end{vmatrix}
=0.
$$
Jos determinantissa vaihdetaan kahden rivin paikkaa, niin determinantin merkki muuttuu. Siis vaihtamalla keskimmäisessä determinantissa rivien järjestys miinusmerkki kumoutuu ja saadaan
$$
(x_1-a_1)\begin{vmatrix}
u_2 & v_2\\
u_3 & v_3\\
\end{vmatrix}
+(x_2-a_2)\begin{vmatrix}
u_3 & v_3\\
u_1 & v_1\\
\end{vmatrix}
+(x_3-a_3)
\begin{vmatrix}
u_1 & v_1\\
u_2 & v_2\\
\end{vmatrix}
=0.
$$
Merkitään determinantteja
$$
D_1=\begin{vmatrix}
u_2 & v_2\\
u_3 & v_3\\
\end{vmatrix},\quad
D_2=\begin{vmatrix}
u_1 & v_1\\
u_3 & v_3\\
\end{vmatrix},\quad
D_3=\begin{vmatrix}
u_1 & v_1\\
u_2 & v_2\\
\end{vmatrix},
$$
jolloin yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa
$$
D_1(x_1-a_1)
+D_2(x_2-a_2)
+D_3(x_3-a_3)
=0.
$$
Tästä saadaan tasolle \(T\) parametriton
Huomautus. Jos vektorit \(\bar{u}=(u_1,u_2,u_3)^T\) ja \(\bar{v}=(v_1,v_2,v_3)^T\) eivät ole yhdensuuntaisia, niin kaikki determinantit \(D_1,D_2,D_3\) eivät voi olla yhtäaikaa nollia eli yhtälö ei surkastu muotoon \(0=0\). Perustellaan tämä väite.
Koska vektorit \(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\) eivät ole yhdensuuntaisia, niin kumpikaan niistä ei ole nollavektori. Näin ollen molemmilla vektoreilla \(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\) on vähintään yksi nollasta poikkeava koordinaatti. Oletetaan, että \(u_1\neq 0\) ja \(v_1\neq 0\). Muut tapaukset todistetaan vastaavasti.
Vastaoletus. Kaikki determinantit \(D_1\), \(D_2\) ja \(D_3\) ovat nollia. Siis $$ u_1v_3=u_3v_2,\quad u_2v_1=u_1v_3,\quad u_1v_2=u_2v_1. $$ Merkitään \(\alpha=\frac{v_1}{u_1}\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Nyt \(v_1=\alpha u_1\). Keskimmäisen yhtälön nojalla \(v_3=\alpha u_3\) ja viimeisen yhtälön nojalla \(v_2=\alpha u_2\). Tällöin \(\bar{v}=\alpha\bar{u}\), mikä on ristiriita oletuksen ''\(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\) eivät ole yhdensuuntaisia'' kanssa.