Kurssi

Lause. Jos \(V\) on äärellisesti viritetty lineaariavaruus, niin avaruuden \(V\) virittää eräs sellainen joukko \(F\), joka on alkiomäärältään suppein; toisin sanoen, jokaisessa muussa avaruuden \(V\) virittäjäjoukossa on vähintään yhtä monta alkiota kuin joukossa \(F\).

Todistus. (Apulause 12.3.1) Koska \(V\) on äärellisesti viritetty, niin sillä on äärellinen virittäjäjoukko $$ E=\{e_1,\ldots,e_n\}, $$ missä \(n\in\mathbb{N}\). Tällöin joukossa \(E\) on \(n\) alkiota, merkitään tätä \(\#E=n\). Olkoon $$ S=\{\#W\,:\, W\subset V\textrm{ on äärelllinen virittäjäjoukko }\} $$ äärellisten virittäjäjoukkojen alkiomäärien joukko. Nyt \(S\) on luonnollisten lukujen osajoukko. Joukko \(S\) on epätyhjä, koska \(n\in S\). Pienimmän alkion periaatteen nojalla joukossa \(S\) on pienin luku, olkoon se \(k\in\mathbb{N}\). Joukon \(S\) määrittelyn perusteella on olemassa \(k\)-alkioinen virittäjäjoukko, joka on mahdollisimman suppea.\(\Box\)