Kurssi

Lause 16.1.2. Olkoot \(\mathbb{R}^n\) ja \(\mathbb{R}^m\) varustettu luonnollisilla järjestetyillä kannoillaan. Jos \(L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) on lineaarikuvaus, on olemassa yksikäsitteisesti määrätty matriisi \(A_L\in\mathbb{R}^{m\times n}\), jolle $$ L(\bar{x})=A_L\bar{x} $$ kaikilla \(\bar{x}\in\mathbb{R}^n\). Matriisin \(A_L\) sarakkeina ovat avaruuden \(\mathbb{R}^n\) standardien kantavektorien \(\bar{e}_k\) kuvat kuvauksessa \(L\), ts. $$ A_L=(L(\bar{e}_1),L(\bar{e}_2),\ldots,L(\bar{e}_n)). $$

Todistus. (Lause 16.1.2) Todistetaan ensin vaadittavan matriisin olemassaolo. Määritellään matriisi \(A_L\) lähtöavaruuden kantavektorien kuvina $$ A_L=(\bar{a}_1,\ldots,\bar{a}_n), $$ missä sarakevektorit \(\bar{a}_j=L(\bar{e}_j\) kaikilla \(j=1,\ldots,n\). Olkoon \(\bar{x}\in\mathbb{R}^n\) mielivaltainen. Vektorilla \(\bar{x}\) on (yksikäsitteinen) esitys $$ \bar{x}=x_1\bar{e}_1+\ldots+x_n\bar{e}_n $$ kantavektorien avulla. Lineaarisuuden nojalla $$ L(\bar{x})=L(x_1\bar{e}_1+\ldots+x_n\bar{e}_n) =x_1L(\bar{e}_1)+\ldots+x_nL(\bar{e}_n). $$ Tiedon \(\bar{a}_j=L(\bar{e}_j\) nojalla $$ L(\bar{x})=x_1\bar{a}_1+\ldots+x_n\bar{a}_n =(\bar{a}_1\cdots\bar{a}_n) \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} =A_L\bar{x}, $$ joten matriisi \(A_L\) toteuttaa vaaditut ominaisuudet.

Todistetaan seuraavaksi esitysmatriisien yksikäsitteisyys. Oletetaan, että matriiseille \(A,B\in\mathbb{R}^{m\times n}\) pätee $$ L(\bar{x})=A\bar{x}=B\bar{x},\quad \bar{x}\in\mathbb{R}^n. $$ Erityisesti jokaisella kantavektorilla \(\bar{e}_j\), missä \(j=1,\ldots,n\), pätee $$ A\bar{e}_j=B\bar{e}_j. $$ Mutta tällöin matriiseilla \(A\) ja \(B\) on samat sarakkeet $$ A(:,j)=A\bar{e}_j=B\bar{e}_j=B(:,j),\quad j=1,\ldots,n, $$ ja täten \(A=B\).\(\Box\)