Kurssi

Lause 13.2.2. Riviekvivalenteilla matriiseilla on sama riviavaruus.

Todistus. (Lause 13.2.2) Jos \(E\in\mathbb{R}^{m\times m}\) on alkeismatriisi, niin matriisin \(EA\) rivit ovat matriisin \(A\in\mathbb{R}^{m\times m}\) rivien lineaarikombinaatioita, koska \(EA\) on saatu matriisista \(A\) tekemällä sille alkeismatriisin \(E\) tyyppiä vastaava alkeisoperaatio rivien suhteen. Muistetaan, että alkeisoperaatiot ovat

• I. vaihdetaan kahden rivin paikat;
• II. kerrotaan joku rivi nollasta poikkeavalla luvulla;
• III. lisätään johonkin riviin toisen monikerta.

Täten \([EA]_r\subset[A]_r\).

Oletetaan, että matriisit \(A\) ja \(B\) ovat riviekvivalentteja. Tällöin on olemassa alkeismatriisit \(E_1,\ldots,E_k\) siten, että $$ B=E_kE_{k-1}\cdots E_2E_1A. $$ Toistamalla todistuksen alkuosa yhteensä \(k\) kertaa saadaan \([B]_r\subset [A]_r\).

Koska riviekvivalenttisuus on symmetrinen relaatio, on olemassa alkeismatriisit \(E_1',\ldots,E_j'\) siten, että $$ A=E_j'E_{j-1}'\cdots E_2'E_1'B. $$ Tästä saadaan \([A]_r\subset [B]_r\) ja näin ollen \([A]_r= [B]_r\).\(\Box\)