Kurssi

Lause 18.1.5. Olkoon \(V\) reaalikertoiminen lineaariavaruus ja olkoon vektorijoukko \(E=\{u_1,\ldots,u_n\}\) sen jokin kanta. Merkitään edelleenkin vektorin \(v\) koordinaattivektoria kannassa \(E\) symbolilla \(v_E\). Avaruuden \(\mathbb{R}^n\) pistetulon avulla määritelty vektorien laskutoimitus $$ \langle u,v\rangle =u_E\cdot v_E $$ on sisätulo.

Todistus. (Lause 18.1.5) Olkoot $$ \begin{array}{rl} u&=x_1e_1+\cdots+x_ne_n,\\ v&=y_1e_1+\cdots+y_ne_n. \end{array} $$ Tässä tapauksessa on selvää, että \(\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb{R}\).

(i) Saadaan $$ \langle u,u\rangle =u_E\cdot u_E =(x_1,\ldots,x_n)\cdot(x_1,\ldots,x_n) =x_1^2+\ldots+x_n^2\geq 0. $$ Jos \(u=0\), niin $$ \langle u,u\rangle=0^2+\cdots+0^2=0. $$ Jos \(\langle u,u\rangle=0\), niin \(x_1=\cdots=x_n=0\) ja edelleen \(u=0\) eli \(u\) on vektoriavaruuden nolla-alkio.

(ii) Nyt $$ \langle u,v\rangle =u_E\cdot v_E =v_E\cdot u_E =\langle v,u\rangle. $$

(iii) Koska $$ au+bv =(ax_1+by_1)e_1+\cdots+(ax_n+by_n)e_n =a(x_1e_1+\cdots x_ne_n)+b(y_1e_1+\cdots y_ne_n), $$ niin \((au+bv)_E=au_E+bv_E\). Näin ollen $$ \langle au+bv,w\rangle =(au+bv)_E\cdot w_E =(au_E+bv_E)\cdot w_E. $$ Pistetulon osittelulain nojalla tämä on yhtä suuri kuin $$ au_E\cdot w_E+bv_E\cdot w_E =a\langle u,w\rangle+b\langle u,w\rangle. $$\(\Box\)