Kurssi

Lause 18.2.5 (Schwarzin epäyhtälö) Sisätuloavaruudessa $V$ pätee kaikilla $u,v\in V$ $$|\langle u,v\rangle|\leq \lVert u\rVert \lVert v\rVert.$$ Lisäksi $|\langle u,v\rangle|=\lVert u\rVert \lVert v\rVert$ jos ja vain jos $u$ ja $v$ ovat lineaarisesti riippuvia, ts. on olemassa $c\in\mathbb{R}$, jolle $u=cv$ tai $v=cu$.

Todistus. (Lause 18.2.5) Jos $\lVert v\rVert=0$, niin $v=0_V$ ja väite pätee muodossa $0\leq 0$. Olkoon $\lVert v\rVert\gt 0$. Kun $x\in\mathbb{R}$, niin $$0\leq\lVert u-xv\rVert^2=\langle u-xv,u-xv\rangle =\langle u,u\rangle-2x\langle u,v\rangle+x^2\langle v,v\rangle=f(x),$$ joten paraabelilla $f$ on korkeintaan yksi nollakohta. Näin ollen diskriminantille $D$ pätee $$D=4\langle u,v\rangle^2-4\langle u,u\rangle\langle v,v\rangle\leq 0$$ eli $$\langle u,v\rangle^2-\lVert u\rVert^2\lVert v\rVert^2\leq 0$$ eli $$\langle u,v\rangle^2\leq \lVert u\rVert^2\lVert v\rVert^2.$$ Yhtäsuuruuskäsittely extra-materiaalissa.$\Box$.