| (i) | Jos \(u\in V\) ja \(u_\perp v_j\) kaikilla \(j\) sekä \(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k\in\mathbb{R}\), niin $$ u\perp (\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_k v_k). $$ | |
| (ii) | Jos \(v_i\perp v_j\) kaikilla \(i\neq j\), niin $$ \lVert v_1+v_2+\cdots+v_k\rVert^2 =\lVert v_1\rVert^2+\lVert v_2\rVert^2+\cdots+\lVert v_k\rVert^2. $$ |
Todistus. (Lause 19.1.3) (a) Koska \(\langle u,v_i\rangle=0\) kaikilla \(i=1,\ldots,k\), niin sisätulon lineaarisuus toisen argumentin suhteen implikoi $$ \langle u,a_1v_1+\cdots+a_kv_k\rangle =a_1\langle u,v_1\rangle +\cdots+a_k\langle u,v_k\rangle =0. $$ Kohdan (a) väite seuraa.
(b) Kahden vektorin tapaus. Jos \(v_1\perp v_2\), niin \(\langle v_1,v_2\rangle =0\) ja $$ \lVert v_1+v_2\rVert^2 =\langle v_1+v_2,v_1+v_2\rangle =\langle v_1,v_1\rangle +2\langle v_1,v_2\rangle +\langle v_2,v_2\rangle =\lVert v_1\rVert^2+\lVert v_2\rVert^2. $$ Siis väite $$ \lVert v_1+\cdots+v_n\rVert^2 =\lVert v_1\rVert^2+\cdots+\lVert v_n\rVert^2 $$ pätee arvolla \(n=2\).
Induktio-oletus. Oletetaan, että $$ \lVert v_1+\cdots+v_k\rVert^2 =\lVert v_1\rVert^2+\cdots+\lVert v_k\rVert^2 $$ pätee jollakin \(k\geq 2\).
Induktioaskel. Päteekö myös $$ \lVert v_1+\cdots+v_{k+1}\rVert^2 =\lVert v_1\rVert^2+\cdots+\lVert v_{k+1}\rVert^2. $$ Ryhmittelemällä $$ v_1+\cdots+v_k+v_{k+1}=u+v_{k+1} $$ pätee (a)-kohdan nojalla \(u\perp v_{k+1}\). Siis $$ \lVert v_1+\cdots+v_k+v_{k+1}\rVert^2 =\lVert u+v_{k+1}\rVert^2 =\lVert u\rVert^2+\lVert v_{k+1}\rVert^2. $$ Ensimmäinen termi on sievennetty induktio-oletuksessa, joten saadaan $$ \lVert v_1+\cdots+v_k+v_{k+1}\rVert^2 =\lVert v_1\rVert^2+\cdots+\lVert v_k\rVert^2+\lVert v_{k+1}\rVert^2. $$ Induktioperiaatteen nojalla todistus on valmis.\(\Box\)