2.1. Suorat

Tasossa suoran yhtälön voi kirjoittaa monella eri tavalla, esimerkiksi

(i)		$y=kx+b$;
(ii)		$y-y_0=k(x-x_0)$;
(ii)		$ax+by=0$.

Kullakin esitysmuodolla on oma etunsa. Tarkastellaan aluksi näitä suoran yhtälöitä. Tarkastellaan sitten suoran esittämistä vektoreiden avulla.

Suoran yhtälöt

Tasossa suoran yhtälön voi kirjoittaa muodossa $$ y=kx+b. $$ Tässä $k\in\mathbb{R}$ on suoran jyrkkyys eli kulmakerroin. Sijoittamalla $x=0$ saadaan $y=b$. Piste $(x,y)=(0,b)$ on $y$-akselilla ja suora leikkaa siis $y$-akselin korkeudella $y=b$.

Tehtävä. Tarkastellaan suoraa $y=2x+3$.

(i)		Mikä on suoran kulmakerroin?
(ii)		Missä pisteessä suora leikkaa $y$-akselin?

Jos tason suora kulkee pisteen $(x_0,y_0)$ kautta, niin suoran yhtälön voi kirjoittaa muodossa $$ y-y_0=k(x-x_0). $$ Jos toinen suoran piste on $(x_1,y_1)$, niin saadaan $$ y_1-y_0=k(x_1-x_0) \quad\textrm{eli}\quad k=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}. $$ Saadaan $$ y=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0). $$

Tehtävä. Tarkastellaan pisteiden $(1,-1)$ ja $(4,3)$ kautta kulkevaa suoraa. Kirjoita suoran yhtälö muodossa $$ y-y_0=k(x-x_0) $$ sekä muodossa $$ y=kx+b. $$

Suoran yhtälö voidaan myös kirjoittaa muodossa $$ ax+by=c. $$ Jakamalla luvulla $c$ saadaan $$ \frac{a}{c}x+\frac{b}{c}y=1. $$ Tämän voi kirjoittaa muodossa $$ \frac{x}{(c/a)}+\frac{y}{(c/b)}=1. $$ Jos $x=0$, niin $\frac{y}{(c/b)}=1$ eli $y=\frac{c}{b}$. Jos taas $y=0$, niin $\frac{x}{(c/a)}=1$ eli $x=c/a$. Siis suora leikkaa koordinaattiakselit pisteissä $\left(0,\frac{c}{b}\right)$ ja $\left(\frac{c}{a},0\right)$.

Tehtävä. Missä pisteissä suora $$ 2x+3y=5 $$ leikkaa koordinaattiakselit?

Suoran esittäminen vektoreiden avulla

Kirjoitetaan yhtälö $$ y-y_0=k(x-x_0) $$ muodossa $$ y-y_0=\frac{\beta}{\alpha}(x-x_0). $$ Jos suoran pisteen $x$-koordinaatti on $x=x_0+\alpha t$, jollakin $t\in\mathbb{R}$, niin mikä on $y$-koordinaatti?

Saadaan $$ y=y_0+\frac{\beta}{\alpha}(x-x_0)=y_0+\frac{\beta}{\alpha}((x_0+\alpha t)-x_0)=y_0+\beta t. $$ Siis voidaan kirjoittaa $$ \begin{cases} x&=x_0+\alpha t\\ y&=y_0+\beta t \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}. $$ Vektorimuodossa tämän voi lausua $$ (x,y)=(x_0,y_0)+(\alpha,\beta)t,\quad t\in\mathbb{R}. $$ Tässä $(x_0,y_0)$ on jokin suoran piste sekä vektori $(\alpha,\beta)$ on suoran suuntavektori. Täytyy olettaa, että $(\alpha,\beta)\neq (0,0)=\mathbf{0}$, sillä muutoin saataisiin $$ (x,y)=(x_0,y_0)+(\alpha,\beta)t=(x_0,y_0)+(0,0)t=(x_0,y_0) $$ eli suora surkastuisi yhdeksi pisteeksi.

Vektorimuotoisessa esitystavassa on monta etua. Ehkä tärkein etu on se, että vektorimuotoinen suoran esitystapa voidaan yleistää mihin tahansa avaruuteen $\mathbb{R}^n$.

Määritelmä. Olkoot $\mathbf{p},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n$ ja olkoon $\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$. Pisteen $\mathbf{p}$ kautta kulkeva vektorin $\mathbf{v}$ suuntainen suora koostuu avaruuden $\mathbf{R}^n$ pisteistä, jotka ovat muotoa $$ \mathbf{p}(t)=\mathbf{p}+\mathbf{v}t,\quad t\in\mathbb{R}. $$

Merkitään vektoria pisteestä $A$ pisteeseen $B$ merkinnällä $\overline{AB}$. Jos pisteiden $A$ ja $B$ paikkavektorit ovat $\mathbf{r}_A$ ja $\mathbf{r}_B$, niin silloin $\overline{AB}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A$.

Pisteiden $\mathbf{r}_A$ ja $\mathbf{r}_B$ kautta kulkeva suora on siis $$ \mathbf{p}(t)=\mathbf{r}_A+\overline{AB}t=\mathbf{r}_A+(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A)t,\quad t\in\mathbb{R}. $$

Myös esitysmuoto $$ ax+by=c $$ johtaa hyödylliseen tulokseen. Oletetaan, että suora kulkee pisteen $(x_0,y_0)$ kautta eli että $$ ax_0+by_0=c $$ Jos suoran pisteen $x$-koordinaatti on $x=x_0+bt$, niin silloin $$ by=c-ax=c-a(x_0+bt)=ax_0+by_0-ax_0-abt=by_0-abt. $$ Jakamalla luvulla $b$ saadaan $$ y=y_0-at. $$ Siis suoran $$ ax+by=c $$ vektorimuotoinen esitys on $$ (x,y)=(x_0,y_0)+(b,-a)t,\quad t\in\mathbb{R}. $$ Yhtälöstä $$ ax+by=c=ax_0+by_0 $$ saadaan $$ a(x-x_0)+b(y-y_0)=(a,b)\cdot (x-x_0,y-y_0)=0. $$ Tässä vektori $(a,b)\perp(b,-a)$ on suoran normaalivektori.

Määritelmä. Tason suoran $$ (x,y)=(x_0,y_0)+(b,-a)t,\quad t\in\mathbb{R}. $$ yhtälö $$ a(x-x_0)+b(y-y_0)=(a,b)\cdot (x-x_0,y-y_0)=0. $$ on suoran normaalimuotoinen yhtälö.

Avaruuden $\mathbb{R}^n$, missä $n\geq 3$, suoralle yhtälöä tai normaalimuotoista yhtälöä ei voi kirjoittaa aivan yhtä suoraviivaisesti. Tarkastellaan malliksi kolmiulotteista avaruutta $\mathbb{R}^3$.

Avaruuden $\mathbb{R}^3$ suoran voi kirjoittaa vektorimuodossa $$ (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+(a,b,c)t,\quad t\in\mathbb{R}. $$ Parametrimuodoksi saadaan $$ \begin{cases} x&=x_0+at\\ y&=y_0+bt\\ z&=z_0+ct \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}. $$ Jos luvut $a,b,c$ ovat nollasta eroavia, niin joka yhtälöstä voidaan ratkaista $t$ ja saadaan $$ t=\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}. $$ Tasossa $\mathbb{R}^2$ muuttujia on vain kaksi, nimittäin $x$ ja $y$, ja siksi suoran yhtälö voidaan kirjoittaa yhden yhtälön avulla esimerkiksi muodossa $y=kx+b$. Avaruudessa $\mathbb{R}^3$ suoran yhtälöön täytyy siis lisätä vielä toinen yhtäsuuruusmerkki, jotta voidaan kertoa kuinka muuttuja $z$ riippuu muuttujista $x$ ja $y$.

Tarkastellaan sitten avaruudessa suoraa vastaan kohtisuoria tasoja. Avaruuden $\mathbb{R}^3$ suora $$ (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+(a,b,c)t,\quad t\in\mathbb{R}, $$ on tasoja $$ ax+by+cz=d, $$ vastaan kohtisuorassa, kun $d$ on mikä tahansa reaaliluku. Valitaan esimerkiksi $$ d=ax_0+by_0+cz_0. $$ Tällöin yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $$ ax+by+cz=d=ax_0+by_0+cz_0 $$ eli $$ a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0 $$ eli $$ (a,b,c)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0). $$ Merkitsemällä $\mathbf{n}=(a,b,c)$ ja $\mathbf{p}(t)=(x,y,z)$ ja $\mathbf{p}(0)=(x_0,y_0,z_0)$ saadaan $$ \mathbf{n}\cdot (\mathbf{p}(t)-\mathbf{p}(0)). $$

(i)		Mikä on suoran kulmakerroin?
(ii)		Missä pisteessä suora leikkaa \(y\)-akselin?

(i)		\(y=kx+b\);
(ii)		\(y-y_0=k(x-x_0)\);
(ii)		\(ax+by=0\).

Kurssi

2.1. Suorat

Suoran yhtälöt

Suoran esittäminen vektoreiden avulla