2.2. Tasot

Kerrataan aluksi avaruuden $\mathbb{R}^n$ suoran vektoriesitys.

Olkoot $\mathbf{p}_0,\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n$ ja olkoon $\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$. Pisteen $\mathbf{p}$ kautta kulkeva suora, jolla on suuntavektori $\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$, koostuu pisteistä $$ \mathbf{p}(t)=\mathbf{p}_0+\mathbf{v}t,\quad t\in\mathbb{R}. $$ Tässä $\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$ on tärkeä sen vuoksi, että suora ei surkastu yksittäiseksi pisteeksi.

Jos esitykseen lisätään toinen suuntavektori $\mathbf{w}$, saadaan avaruuden tason vektoriesitys. Lisättävä vektori ei saa olla nollavektori eli täytyy olla $\mathbf{w}\neq\mathbf{0}$. Jotta $\mathbf{w}$ toisi jotain uutta, se ei myöskään saa olla yhdensuuntainen aiemman suuntavektorin $\mathbf{v}$ kanssa eli täytyy olla $\mathbf{w}\not\parallel\mathbf{v}$.

Määritelmä. Olkoot $\mathbf{p}_0,\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^n$ siten, että $\mathbf{v},\mathbf{w}\neq\mathbf{0}$ ja $\mathbf{w}\not\parallel\mathbf{v}$. Pisteen $\mathbf{p}_0$ kautta kulkeva vektorien $\mathbf{v}$ ja $\mathbf{w}$ suuntainen taso koostuu pisteistä $$ \mathbf{p}(s,t)=\mathbf{p}_0+s\mathbf{v}+t\mathbf{w},\quad s,t\in\mathbb{R}. $$ Vektorit $\mathbf{v}$ ja $\mathbf{w}$ ovat tason suuntavektorit.

Määritetään kolmen pisteen kautta kulkeva taso.

Esimerkki. Määritetään pisteiden $A=(0,1,0)$, $B=(-1,3,2)$ ja $C=(-2,0,1)$ kautta kulkeva taso $T$. Valitaan ensin tason paikkavektori. Esimerkiksi tason pisteen $A$ paikkavektori $\overline{OA}=(0,1,0)$ käy tähän tarkoitukseen. Lisäksi tarvitaan tason suuntaiset suuntavektorit $$ \overline{AB}=\overline{OB}-\overline{OA}=(-1,2,2) $$ ja $$ \overline{AC}=\overline{OC}-\overline{OA}=(-2,-1,1). $$ Nyt on tarkistettava, että vektorit $\overline{AB}$ ja $\overline{AC}$ eivät ole yhdensuuntaiset, sillä muutoin kyseessä ei ole taso. Kirjoittamalla $$ \overline{AB}=t\overline{AC} \quad\textrm{eli}\quad (-1,2,2)=t(-2,-1,1) $$ jollakin $t\in\mathbb{R}$ saadaan yhtälöryhmä $$ \begin{cases} -1&=-2t\\ 2&=-t\\ 2&=t \end{cases}. $$ Keskimmäisen yhtälön mukaan $t=-2$ ja alimman mukaan $t=2$. Saatiin ristiriita. Siis yhtälö $\overline{AB}=t\overline{AC}$ ei päde millään $t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ eli vektorit $\overline{AB}$ ja $\overline{AC}$ eivät ole yhdensuuntaiset. Saadaan taso $$ \mathbf{p}(s,t)=\overline{OA}+s\overline{AB}+t\overline{AC},\quad s,t\in\mathbb{R}, $$ eli taso $$ \mathbf{p}(s,t)=(0,1,0)+s(-1,2,2)+t(-2,-1,1),\quad s,t\in\mathbb{R}. $$

Käsitellään seuraavaksi tason normaalivektoria.

Määritelmä. Vektoria, joka on kohtisuorassa tason suuntavektoreita vastaan, kutsutaan tason normaalivektoriksi.

Määritelmänsä mukaan normaalivektori on kohtisuorassa tason suuntavektoreita vastaan. Jos taso kulkee origon kautta, tason normaalivektori on kohtisuorassa kaikkia tason vektoreita vastaan. Taso koostuu täsmälleen niistä vektoreista, jotka ovat kohtisuorassa normaalia vastaan. Toisin sanoen, jos $\mathbf{n}$ on origon kautta kulkevan tason $T$ normaali, piste $\mathbf{x}$ on tasossa $T$, jos ja vain jos $$ \mathbf{n}\cdot\mathbf{x}=0. $$ Jos taso ei kulje origon kautta, saa tason yhtälö hiukan toisen muodon. Oletetaan, että $T$ on avaruuden $\mathbf{R}^3$ taso, jonka paikkavektori on $\mathbf{p}$ ja jolla on normaalivektori $\mathbf{n}$. Tällöin $\mathbf{x}$ on tasossa $T$, jos ja vain jos $$ \mathbf{n}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{p})=0 $$ Tilannetta on havainnollistettu oheisessa kuvassa.

Tarkastellaan esimerkin kautta, kuinka tason koordinaattiyhtälö voidaan johtaa

Esimerkki. Oletetaan, että avaruuden $\mathbf{R}^3$ taso $T$ kulkee pisteen $P=(6,0,1)$ kautta ja sillä on normaalivektori $\mathbf{n}=(1,2,3)$. Tason $T$ normaalimuotoinen yhtälö on tällöin $$ (1,2,3)\cdot (\mathbf{x}-(6,0,1))=0. $$ Merkitsemällä $\mathbf{x}=(x,y,z)$ saadaan $$ (1,2,3)\cdot ((x,y,z)-(6,0,1))=(1,2,3)\cdot (x-6,y-0,z-1)=0. $$ eli $$ 1(x-6)+2(y-0)+3(z-1)=0 $$ eli $$ x+2y+3z=9. $$

Edellistä esimerkkiä mukaillen voidaan osoittaa, että pisteen $(x_0,y_0,z_0)$ kautta kulkeva taso, jolla on normaalivektori $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3\setminus\{\mathbf{0}\}$, on taso $$ ax+by+cz=d, $$ missä $d=ax_0+by_0+cz_0$. Tätä kutsutaan tason yhtälön yleiseksi muodoksi.

Normaali kertoo tasolle kohtisuoran suunnan. Edelleen kohtisuorat etäisyydet ovat lyhimpiä. Tästä johtuen pisteen etäisyys tasosta saadaan tarkastelemalla tason normaalin suuntaista projektiota.

Sisennettyjen elementtien väliin johdatteleva tekstikappale.

Esimerkki. Mikä on pisteen $D=(5,3,-1)$ etäisyys tasosta $T$, joka kulkee pisteiden $A=(0,1,0)$, $B=(-1,3,2)$ ja $C=(-2,0,1)$ kautta?.

Tason suuntavektoreiksi voidaan valita $$ \overline{AB}=\overline{OB}-\overline{OA}=(-1,2,2) $$ ja $$ \overline{AC}=\overline{OC}-\overline{OA}=(-2,-1,1). $$ Tason normaaliksi voidaan valita $$ \mathbf{n}=\overline{AB}\times \overline{AC}=(4,-3,5). $$ Pistettä ja tasoa yhdistäväksi vektoriksi voidaan valita $$ \overline{AD}=\overline{OD}-\overline{OA}=(5,2,-1). $$ Projektiovektoriksi saadaan $$ \overline{AD}_{\mathbf{n}}=\frac{\overline{AD}\cdot\mathbf{n}}{\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}}\mathbf{n} =\frac{(5,2,-1)\cdot(4,-3,5)}{(4,-3,5)\cdot(4,-3,5)}(4,-3,5) $$ eli $$ \overline{AD}_{\mathbf{n}} =\frac{20-6-5}{16+9+25}(4,-3,5) =\frac{9}{50}(4,-3,5). $$ Projektiovektorin pituus on $$ \lVert \overline{AD}_{\mathbf{n}} \rVert =\frac{9}{50}\lVert (4,-3,5)\rVert=\frac{9}{50}\sqrt{50}=\frac{9}{\sqrt{50}}. $$ Siten pisteen $D$ etäisyys tasosta $T$ on $\frac{9}{\sqrt{50}}$

Saatu tulos voidaan esittää lauseena.

Lause. Avaruudessa $\mathbb{R}^n$ pisteen $\mathbf{q}$ etäisyys tasosta $$ \mathbf{n}\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})=0 $$ on $$ \frac{|(\mathbf{q}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{n}|}{\lVert\mathbf{n}\rVert}. $$ Jos $\mathbf{n}=(a,b,c)$, $\mathbf{p}=(x_0,y_0,z_0)$, $\mathbf{x}=(x,y,z)$ ja $\mathbf{q}=(x_1,y_1,z_1)$, niin tason yhtälö on $$ ax+by+cz=d, $$ missä $d=ax_0+by_0+cz_0$, ja pisteen $\mathbf{q}$ etäisyys tasosta on $$ \frac{|ax_1+by_1+cz_1-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. $$

Todistus. Harjoitustehtävä $\Box$.

Tiivistelmä.

Tason pisteet saadaan lisäämällä paikkavektoriin suuntavektorien lineaarikombinaatioita.
Avaruuden $\mathbf{R}^3$ tason voi myös kirjoittaa normaalivektorin avulla. Se on vektori, joka on kohtisuorassa tasoa vastaan.

Kurssi

2.2. Tasot