Kurssi

Esimerkki. 10.4.9. Osoita, että joukon $\mathcal{P}_3$ virittäviä joukkoja ovat esimerkiksi $$U_1=\{1,x,x^2,x^3\}\quad\textrm{ja}\quad U_2=\{1+x,x,x^2-1,x^3+x\}.$$

Ratkaisu. Selvästi $$[U_1] =[1,x,x^2,x^3] =\{a+bx+cx^2+dx^3,\quad a,b,c,d\in\mathbb{R}\}=\mathcal{P}_3,$$ joten $U_1$ virittää avaruuden $\mathcal{P}_3$.

Joukon $U_2$ tapauksessa nähdään, että $[U_2]=[1+x,x,x^2-1,x^3+x]$ koostuu muotoa $$\alpha(1+x)+\beta x+\gamma(x^2-1)+\delta(x^3+x),\quad \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R},$$ eli $$(\alpha-\gamma)+(\alpha+\beta+d)x+\gamma x^2+\delta x^3,\quad \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R},$$ olevista polynomeista. Nähdään, että $[U_2]\subset\mathcal{P}_3$. Osoitetaan $[U_2]=\mathcal{P}_3$ näyttämällä, että $\mathcal{P}_3\subset[U_2]$. Olkoon $p\in\mathcal{P}_3$, $p(x)=a+bx+cx^2+dx^3$ mielivaltainen. Tarkistetaan, voidaanko $\mathcal{P}$ esittää joukon $U_2$ alkioiden lineaarikombinaationa. Tulisi päteä $$(\alpha-\gamma)+(\alpha+\beta+d)x+\gamma x^2+\delta x^3 =a+bx+cx^2+dx^3$$ kaikilla $x\in\mathbb{R}$. Nyt $$\begin{cases} \begin{matrix} \alpha && -\gamma &&=&a\\ \alpha &+\beta&&+\delta &=&b\\ &&\gamma &&=& c\\ &&&\delta &=& d \end{matrix} \end{cases} \quad\textrm{eli}\quad \begin{cases} \alpha=a+c\\ \beta=b-a-c-d\\ \gamma =c\\ \delta =d \end{cases}.$$ Koska yhtälöryhmällä on (ainakin yksi) ratkaisu, niin $\mathcal{P}_3\subset [U_2]$. Näin ollen $U_2$ virittää avaruuden $\mathcal{P}_3$.