Esimerkki. 10.4.9. Osoita, että joukon \(\mathcal{P}_3\) virittäviä joukkoja ovat esimerkiksi $$ U_1=\{1,x,x^2,x^3\}\quad\textrm{ja}\quad U_2=\{1+x,x,x^2-1,x^3+x\}. $$
Ratkaisu. Selvästi $$ [U_1] =[1,x,x^2,x^3] =\{a+bx+cx^2+dx^3,\quad a,b,c,d\in\mathbb{R}\}=\mathcal{P}_3, $$ joten \(U_1\) virittää avaruuden \(\mathcal{P}_3\).
Joukon \(U_2\) tapauksessa nähdään, että \([U_2]=[1+x,x,x^2-1,x^3+x]\) koostuu muotoa $$ \alpha(1+x)+\beta x+\gamma(x^2-1)+\delta(x^3+x),\quad \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}, $$ eli $$ (\alpha-\gamma)+(\alpha+\beta+d)x+\gamma x^2+\delta x^3,\quad \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}, $$ olevista polynomeista. Nähdään, että \([U_2]\subset\mathcal{P}_3\). Osoitetaan \([U_2]=\mathcal{P}_3\) näyttämällä, että \(\mathcal{P}_3\subset[U_2]\). Olkoon \(p\in\mathcal{P}_3\), \(p(x)=a+bx+cx^2+dx^3\) mielivaltainen. Tarkistetaan, voidaanko \(\mathcal{P}\) esittää joukon \(U_2\) alkioiden lineaarikombinaationa. Tulisi päteä $$ (\alpha-\gamma)+(\alpha+\beta+d)x+\gamma x^2+\delta x^3 =a+bx+cx^2+dx^3 $$ kaikilla \(x\in\mathbb{R}\). Nyt $$ \begin{cases} \begin{matrix} \alpha && -\gamma &&=&a\\ \alpha &+\beta&&+\delta &=&b\\ &&\gamma &&=& c\\ &&&\delta &=& d \end{matrix} \end{cases} \quad\textrm{eli}\quad \begin{cases} \alpha=a+c\\ \beta=b-a-c-d\\ \gamma =c\\ \delta =d \end{cases}. $$ Koska yhtälöryhmällä on (ainakin yksi) ratkaisu, niin \(\mathcal{P}_3\subset [U_2]\). Näin ollen \(U_2\) virittää avaruuden \(\mathcal{P}_3\).