Esimerkki. 11.1.3. Onko lineaariavaruuden \(\mathbb{R}^3\) vektorijoukko $$ U=\left\{ \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 2 \end{pmatrix} \right\} $$ lineaarisesti riippuva?
Ratkaisu. Ratkaistaan skalaarit yhtälöstä $$ a \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} +c \begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}. $$ Saadaan ekvivalentisti $$ \begin{cases} \begin{matrix} a&+2b&-c&=&0\\ &+b&-c&=&0\\ a&-b&+2c&=&0 \end{matrix} \end{cases} \quad\textrm{eli}\quad \begin{cases} a=-t\\ b=t\\ c=t\in\mathbb{R}. \end{cases} $$ Yhtälöryhmällä on siis muitakin ratkaisuja kuin triviaali ratkaisu. Ratkaisuja on äärettömästi. Näin ollen \(U\) on lineaarisesti riippuva.
Huomautus. Yhtälöryhmällä on ainoastaan triviaali ratkaisu \(a=b=c=0\) jos ja vain jos $$ \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \neq 0. $$ Tässä tapauksessa determinantti on kuitenkin nolla.