Esimerkki. 11.1.5. Olkoon \(V=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) ja $$ f_1(x)=\sin(x),\quad f_2(x)=\cos(x),\quad f_3(x)=\sin(2x),\quad f_4(x)=\cos(2x). $$ Onko joukko \(\{f_1,f_2,f_3,f_4\}\) lineaarisesti riippuva?
Ratkaisu. Osoitetaan funktiot lineaarisesti riippumattomiksi. Nyt $$ af_1+bf_2+cf_3+df_4=0_V, $$ missä \(0_V\) on vakiofunktio nolla, eli avaruuden \(\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) nolla-alkio. Edellinen yhtälö on ekvivalentti yhtälön $$ a\sin(x)+b\cos(x)+c\sin(2x)+d\cos(2x)=0,\quad x\in\mathbb{R}, $$ kanssa. Koska yhtälön tulee olla voimassa kaikilla \(x\in\mathbb{R}\), valitsemalla (vähintään) neljä konkreettista arvoa muuttujalle \(x\), saadaan neljä yhtälöä, joista voidaan ratkaista neljä tuntematonta \(a,b,c,d\). Valitaan eri muuttujan \(x\) arvoja, saadaan $$ x=0:\quad 0+b+0+d=0 $$ ja $$ x=\frac{\pi}{2}:\quad a+0+0-d=0 $$ ja $$ x=\pi:\quad 0-b+0+d=0 $$ ja $$ x=\frac{\pi}{4}:\quad a\frac{1}{\sqrt{2}}+b\frac{1}{\sqrt{2}}+c+0=0 $$ eli $$ a+b+\sqrt{2}c=0. $$ Kokoamalla nämä yhtälöt saadaan yhtälöryhmä $$ \begin{cases} \begin{matrix} &+b&&+d&=&0\\ a&&&-d&=&0\\ &-b&&+d&=&0\\ a&+b&+\sqrt{2}c&&=&0 \end{matrix} \end{cases}, $$ mikä toteutuu vain arvoilla \(a=b=c=d=0\).
Huomautus. Kehittämällä kolmannen sarakkeen suhteen saadaan $$ \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & \sqrt{2} & 0 \end{vmatrix} =(-2)\sqrt{2} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 1\\ \end{vmatrix} =-2\neq 0. $$