Esimerkki. 11.1.5. Olkoon V=C(R,R) ja f1(x)=sin(x),f2(x)=cos(x),f3(x)=sin(2x),f4(x)=cos(2x). Onko joukko {f1,f2,f3,f4} lineaarisesti riippuva?
Ratkaisu. Osoitetaan funktiot lineaarisesti riippumattomiksi. Nyt af1+bf2+cf3+df4=0V, missä 0V on vakiofunktio nolla, eli avaruuden C(R,R) nolla-alkio. Edellinen yhtälö on ekvivalentti yhtälön asin(x)+bcos(x)+csin(2x)+dcos(2x)=0,x∈R, kanssa. Koska yhtälön tulee olla voimassa kaikilla x∈R, valitsemalla (vähintään) neljä konkreettista arvoa muuttujalle x, saadaan neljä yhtälöä, joista voidaan ratkaista neljä tuntematonta a,b,c,d. Valitaan eri muuttujan x arvoja, saadaan x=0:0+b+0+d=0 ja x=π2:a+0+0−d=0 ja x=π:0−b+0+d=0 ja x=π4:a1√2+b1√2+c+0=0 eli a+b+√2c=0. Kokoamalla nämä yhtälöt saadaan yhtälöryhmä {+b+d=0a−d=0−b+d=0a+b+√2c=0, mikä toteutuu vain arvoilla a=b=c=d=0.
Huomautus. Kehittämällä kolmannen sarakkeen suhteen saadaan |0101100−10−10111√20|=(−2)√2|01110−10−11|=−2≠0.