Processing math: 100%

Kurssi

Funktioiden lineaarinen riippumattomuus



Esimerkki. 11.1.5. Olkoon V=C(R,R) ja f1(x)=sin(x),f2(x)=cos(x),f3(x)=sin(2x),f4(x)=cos(2x). Onko joukko {f1,f2,f3,f4} lineaarisesti riippuva?

Ratkaisu. Osoitetaan funktiot lineaarisesti riippumattomiksi. Nyt af1+bf2+cf3+df4=0V, missä 0V on vakiofunktio nolla, eli avaruuden C(R,R) nolla-alkio. Edellinen yhtälö on ekvivalentti yhtälön asin(x)+bcos(x)+csin(2x)+dcos(2x)=0,xR, kanssa. Koska yhtälön tulee olla voimassa kaikilla xR, valitsemalla (vähintään) neljä konkreettista arvoa muuttujalle x, saadaan neljä yhtälöä, joista voidaan ratkaista neljä tuntematonta a,b,c,d. Valitaan eri muuttujan x arvoja, saadaan x=0:0+b+0+d=0 ja x=π2:a+0+0d=0 ja x=π:0b+0+d=0 ja x=π4:a12+b12+c+0=0 eli a+b+2c=0. Kokoamalla nämä yhtälöt saadaan yhtälöryhmä {+b+d=0ad=0b+d=0a+b+2c=0, mikä toteutuu vain arvoilla a=b=c=d=0.


Huomautus. Kehittämällä kolmannen sarakkeen suhteen saadaan |0101100101011120|=(2)2|011101011|=20.



Edellinen: esim11-1-3 | Seuraava: esim11-1-7 | Menu: 3