Kurssi

Esimerkki. 11.1.5. Olkoon $V=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ ja $$f_1(x)=\sin(x),\quad f_2(x)=\cos(x),\quad f_3(x)=\sin(2x),\quad f_4(x)=\cos(2x).$$ Onko joukko $\{f_1,f_2,f_3,f_4\}$ lineaarisesti riippuva?

Ratkaisu. Osoitetaan funktiot lineaarisesti riippumattomiksi. Nyt $$af_1+bf_2+cf_3+df_4=0_V,$$ missä $0_V$ on vakiofunktio nolla, eli avaruuden $\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ nolla-alkio. Edellinen yhtälö on ekvivalentti yhtälön $$a\sin(x)+b\cos(x)+c\sin(2x)+d\cos(2x)=0,\quad x\in\mathbb{R},$$ kanssa. Koska yhtälön tulee olla voimassa kaikilla $x\in\mathbb{R}$, valitsemalla (vähintään) neljä konkreettista arvoa muuttujalle $x$, saadaan neljä yhtälöä, joista voidaan ratkaista neljä tuntematonta $a,b,c,d$. Valitaan eri muuttujan $x$ arvoja, saadaan $$x=0:\quad 0+b+0+d=0$$ ja $$x=\frac{\pi}{2}:\quad a+0+0-d=0$$ ja $$x=\pi:\quad 0-b+0+d=0$$ ja $$x=\frac{\pi}{4}:\quad a\frac{1}{\sqrt{2}}+b\frac{1}{\sqrt{2}}+c+0=0$$ eli $$a+b+\sqrt{2}c=0.$$ Kokoamalla nämä yhtälöt saadaan yhtälöryhmä $$\begin{cases} \begin{matrix} &+b&&+d&=&0\\ a&&&-d&=&0\\ &-b&&+d&=&0\\ a&+b&+\sqrt{2}c&&=&0 \end{matrix} \end{cases},$$ mikä toteutuu vain arvoilla $a=b=c=d=0$.

Huomautus. Kehittämällä kolmannen sarakkeen suhteen saadaan $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & \sqrt{2} & 0 \end{vmatrix} =(-2)\sqrt{2} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 1\\ \end{vmatrix} =-2\neq 0.$$