Kurssi

Ratkaisu. Olkoon \(a\neq 0\). Kunnan \(\mathcal{K}\) ominaisuuksien perusteella on olemassa \(a^{-1}\in\mathcal{K}\), jolle \(a^{-1}\cdot a=1\). Kertomalla yhtälöä \(av=0\) luvulla \(a^{-1}\) saadaan $$ a^{-1}\cdot (aV)=(a^{-1}\cdot a)v=1\cdot v=v=a^{-1}\cdot 0=0. $$ Voitaisiin vielä erikseen perustella, että \(t\cdot\bar{0}=\bar{0}\) kaikilla \(t\in\mathcal{K}\), mutta sivuutetaan tämä.

Ratkaisu. Lisätään vasemmalle \(-u\), saadaan $$ -u+u+4x=-u+v\quad\textrm{eli}\quad 4x=-u+v. $$ Kerrotaan luvulla \(\frac{1}{4}\), saadaan $$ x=\frac{1}{4}(-u+v). $$ Löydettiin yksikäsitteinen ratkaisu \(x\).

Ratkaisu. Vektoriavaruudessa täytyy olla nolla-alkio.

Huomaa, että triviaali avaruus \((V,\oplus,\odot)\), missä \(V=\{0_V\}\), on lineaariavaruus.