Kurssi

Ratkaisu. Avaruuden $\mathcal{C}^1(0,3)$ neutraalialkio on identtisesti nolla funktio $f_0$, jolle $f_0(x)=0$ kaikilla $x\in(0,3)$. Vakiofunktiona $f_0$ on derivoituva ja sen derivaatta on nolla eli $f_0'(x)=0$ kaikilla $x\in(0,3)$. Saadaan $f_0'(1)=0=3\cdot 0=3f_0(2)$. Siis avaruuden $\mathcal{C}^1(0,3)$ neutraalialkio on joukossa $U$.

Olkoot $f,g\in U$. Merkitään näiden summaa $h=f+g$. Nyt $$h'(x)=f'(x)+g'(x),\quad x\in(0,3).$$ Saadaan $$h'(1)=f'(1)+g'(1)=3f(2)+3g(2)=3(f(2)+g(2))=3h(2).$$ Siis $h\in U$. Siis $U$ on suljettu yhteenlaskun suhteen.

Olkoon $f\in U$ ja $t\in\mathbb{R}$. Merkitään $h(x)=tf(x)$. Nyt $$h'(x)=tf'(x)$$ ja $$h'(1)=tf'(1)=t\cdot 3f(2)=3tf(2)=3h(2).$$ Siis $h\in U$. Siis $U$ on suljettu skaalaamisen suhteen.

Siis $U$ on avaruuden $\mathcal{C}^1(0,3)$ aliavaruus.