Aliavaruus jatkuvien funktioiden avaruudelle, tehtävä
Tehtävä. (1c3) Olkoon
$$
\mathcal{C}^1(0,3)=\{f:(0,3)\to\mathbb{R}\,:\, f'(x)\textrm{ olemassa ja jatkuva kaikilla }x\in(0,3)\}.
$$
Olkoon
$$
U=\{f\in \mathcal{C}^1(0,3)\,:\, f'(1)=3f(2)\}.
$$
Osoita, että \(U\) on avaruuden \(\mathcal{C}^1(0,3)\) aliavaruus.
Ratkaisu. Avaruuden \(\mathcal{C}^1(0,3)\) neutraalialkio on identtisesti nolla funktio \(f_0\), jolle \(f_0(x)=0\) kaikilla \(x\in(0,3)\). Vakiofunktiona \(f_0\) on derivoituva ja sen derivaatta on nolla eli \(f_0'(x)=0\) kaikilla \(x\in(0,3)\). Saadaan \(f_0'(1)=0=3\cdot 0=3f_0(2)\). Siis avaruuden \(\mathcal{C}^1(0,3)\) neutraalialkio on joukossa \(U\).
Olkoot \(f,g\in U\). Merkitään näiden summaa \(h=f+g\). Nyt
$$
h'(x)=f'(x)+g'(x),\quad x\in(0,3).
$$
Saadaan
$$
h'(1)=f'(1)+g'(1)=3f(2)+3g(2)=3(f(2)+g(2))=3h(2).
$$
Siis \(h\in U\). Siis \(U\) on suljettu yhteenlaskun suhteen.
Olkoon \(f\in U\) ja \(t\in\mathbb{R}\). Merkitään \(h(x)=tf(x)\). Nyt
$$
h'(x)=tf'(x)
$$
ja
$$
h'(1)=tf'(1)=t\cdot 3f(2)=3tf(2)=3h(2).
$$
Siis \(h\in U\). Siis \(U\) on suljettu skaalaamisen suhteen.
Siis \(U\) on avaruuden \(\mathcal{C}^1(0,3)\) aliavaruus.